數(shù)學(xué)史家，穆倫堡學(xué)院名譽Truman Koehler數(shù)學(xué)教授威廉·鄧納姆在1994年出版The Mathematical Universe一書，用26個英文字母作為標(biāo)題講述數(shù)學(xué)史上重要的問題和人物。本文選自J——Justification，論證。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科最大的不同就在于，命題需要證明。數(shù)千年來數(shù)學(xué)正因為此發(fā)展進步，人類一步步攀上智慧的高峰。而且，在作者看來，“數(shù)學(xué)證明的標(biāo)準(zhǔn)不同于其他任何人類活動領(lǐng)域中的標(biāo)準(zhǔn)?！澳敲?，數(shù)學(xué)定理的證明到底是什么呢？本文給出了四個基本原則，闡述涉及數(shù)學(xué)證明本質(zhì)的非常有意義的問題。

本文經(jīng)授權(quán)選自《數(shù)學(xué)那些事：偉大的問題與非凡的人》（圖靈｜人民郵電出版，2022.3），標(biāo)題為編者所加。

撰文丨威廉·鄧納姆（William Dunham，美國穆倫堡學(xué)院數(shù)學(xué)教授）

(資料圖片)

翻譯丨馮速

“證明，”數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah，1929-2019）曾說，“它是膠水，把數(shù)學(xué)粘到了一起?！憋@然，這一觀點想說的是，證明或者說論證是數(shù)學(xué)的化身。

這樣的觀點可能會引起爭議。數(shù)學(xué)這個學(xué)科涉及的范圍如此廣泛，它可以包含各種活動，如估值、構(gòu)造反例、測試特殊案例以及解決日常問題等。數(shù)學(xué)家也不必每天24小時都在證明定理。

然而，即便理論命題的邏輯論證不是數(shù)學(xué)的全部活動，它也肯定是這個學(xué)科的特征。數(shù)學(xué)離不開其他各個方面的學(xué)術(shù)努力，就像它離不開證明、推理以及邏輯演繹一樣。在比較數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系時，伯特蘭·羅素斷言：“已經(jīng)無法在二者之間劃出界線了；事實上，二者是一體的。”

本書已經(jīng)分析了很多數(shù)學(xué)論證。在第 A 章（Arithmetic 算術(shù)）中，我們證明了質(zhì)數(shù)的無窮性；在第 H 章中，我們證明了畢達哥拉斯定理。就一般數(shù)學(xué)論證而言，這些證明相當(dāng)簡單。其他論證卻需要很多頁、很多章節(jié)，甚至很多卷才能得出它們的最終結(jié)論。相應(yīng)的智力要求不見得適合每一個人，正如謙遜的查爾斯·達爾文表明的那樣：“我跟隨漫長而純粹抽象的思維軌跡的能力極其有限，因此我從來不可能在形而上學(xué)或者數(shù)學(xué)上取得成功?！被蛘?，用約翰·洛克（John Locke）更簡短的話說：“數(shù)學(xué)證明像鉆石一樣既堅硬又清透?！?/p>

數(shù)學(xué)定理的證明到底是什么呢？這個問題并不像它看起來那樣一目了然，因為它涉及哲學(xué)、心理學(xué)和數(shù)學(xué)各方面的因素。亞里士多德對此有深刻的理解，他把證明描述為“不是表面上的陳述而是內(nèi)心的冥想。”

羅素也做出了令人信服的評論：數(shù)學(xué)家永遠不可能把“完整的推理過程”寫到紙上，而一定會放置“足以使訓(xùn)練有素的大腦信服的證明摘要”。他想要說的就是，任何數(shù)學(xué)陳述都是建立在另一些陳述和定義的基礎(chǔ)之上的，這些陳述和定義又是建立在更多的陳述和定義的基礎(chǔ)之上的，因此要求證明沿著每一個邏輯步驟追蹤回來，也許有點魯莽。然而在 20 世紀(jì)初，當(dāng)羅素與艾爾弗雷德·諾思·懷特海（Alfred North Whitehead，1861-1947）一起合著巨著《數(shù)學(xué)原理》時，他似乎忘記了自己給世人的忠告。在這本著作中，他們嘗試著把整個數(shù)學(xué)回推到基礎(chǔ)的邏輯原理，并在這一過程中保留了細節(jié)。其結(jié)果是非常折磨人的。他們的展開如此周密，在他們最終證明了 1+1=2 之前，此書已達 362 頁，這一證明在“基數(shù)算術(shù)導(dǎo)言”一章的 54.43 節(jié)（參見圖1）?！稊?shù)學(xué)原理》使論證變得瘋狂。

圖 1 羅素和懷特海證明1+1=2丨摘自艾爾弗雷德·諾思·懷特海和伯特蘭·羅素于 1910 年合寫的《數(shù)學(xué)原理》的第 1 卷。劍橋大學(xué)出版社惠允

在本章，我們要試著保持頭腦清醒。按照我們的意思，證明就是在邏輯法則的范圍內(nèi)精心制作的推理，對于一個論斷的正確性，它無懈可擊，令人信服。像“說服誰？”或者“按照誰的標(biāo)準(zhǔn)無懈可擊？”等一類問題留作以后再議。

當(dāng)然，我們也可以選擇考慮什么不是證明。借助直觀、常識，或者更糟，借助暗示的陳述都不是論證。刑事訴訟中作為有罪證明的“排除一切懷疑”的證明，也不是我們所說的論證。數(shù)學(xué)家認為，證明不僅能排除合理的疑問，而且能夠排除所有疑問。

我們可以從許多不同的方向展開關(guān)于數(shù)學(xué)論證的討論。這里，我們給出四個重要的基本原則，并逐個闡述涉及數(shù)學(xué)證明本質(zhì)的非常有意義的問題。

基本原則#1：個案不充分

無論在科學(xué)中，還是在日常生活中，當(dāng)實驗反復(fù)肯定某個原則之后，我們就傾向于接受它的真實性。如果肯定的案例數(shù)量足夠大，我們就說有了一個“被證實的法則”。

但是，對于數(shù)學(xué)家來說，幾個案例的結(jié)果盡管可能給出一些提示，但絕不是證明。下面給出這種現(xiàn)象的一個例子，考慮

這是真的嗎？顯然，我們可以代入幾個正整數(shù)看一看有什么結(jié)果。當(dāng) n=1 時，我們得到f(1)=1-28+322-1960+6769-13132+13069-5040=2，顯然斷言成立。如果我們代入n=2，計算結(jié)果為

f(2)=27-28×26+322×25-1960×24+6769×23-13132×22+13069×2-5040=2

這一次斷言仍然成立。我們希望讀者拿出計算器，驗證一下f(3)=3，f(4)=4，f(5)=5，f(6)=6，甚至f(7)=7。

這個論斷的證據(jù)似乎建立起來了。有些人，特別是那些對這樣機械式的計算沒有熱情的人也許已經(jīng)宣布這個陳述是真的。但是，它不是真的。代入 n=8 時，我們得到

結(jié)果不是我們期望的 8。進一步的計算表明f(9)=40329，f(10)=181450，f(11)=640811，所以此斷言不僅失敗了，而且錯得驚人。對于由n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7時都為真得出 n 為任意正整數(shù)時都為真的猜測實際上是不正確的。

我們把下面這個表達式展開并合并同類項，就可以得到剛才討論的多項式

f(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)]

顯然，對于n=1，項(n-1)為零，因此方括號中的所有乘積都為零；因此f(1)=1+0=1。如果n=2，那么n-2=0，所以f(2)=2+0=2。類似地，f(3)=3+0=3，一直到f(7)=7+0=7。但是這之后括號里的項不再是零，例如f(8)=8+7!=5048。

這引出下面這樣一個富有挑戰(zhàn)性的擴展命題。假設(shè)我們引入

g(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)…(n-1000000)]

并猜測對于所有正整數(shù)n，有g(shù)(n)=n 。

我們做乘法且合并g(n)的項，就得到一個一百萬次的驚人方程。通過與上面完全相同的推理，我們將發(fā)現(xiàn)g(1)=1 ，g(2)=2，一直到g(1000000)=1000000。

在發(fā)現(xiàn)了一百萬個連續(xù)正確的證據(jù)之后，任何思維正常的人都會懷疑g(n)是否總是產(chǎn)生n。對于任何人——除了數(shù)學(xué)家之外，一百萬次連續(xù)成功都等同于排除了所有值得懷疑的證明。然而，再接下來驗證一下，g(1000001)實際上等于1000001+1000000! ，這個數(shù)非常大，顯然超過 1 000 001。

上面這個例子強調(diào)了關(guān)于數(shù)學(xué)證明的第一個基本原則：我們必須對所有可能的情況進行證明，而不僅是對幾百萬個情況進行證明。

基本原則#2：越簡單越好

數(shù)學(xué)家贊美那些巧妙的證明。但是，數(shù)學(xué)家更贊美那些既巧妙又經(jīng)濟的證明，即那些直擊要害、直達目標(biāo)的沒有多余之處的簡潔推理。這樣的證明被認為是優(yōu)雅的。

數(shù)學(xué)的優(yōu)雅與其他創(chuàng)意作品的優(yōu)雅沒有什么不同。它與莫奈的油畫藝術(shù)的優(yōu)雅有很多共同之處，僅用寥寥幾筆勾勒或幾行詩描繪的法國鄉(xiāng)村風(fēng)景，勝過長篇大論。優(yōu)雅在本質(zhì)上屬于美學(xué)范疇，而不是數(shù)學(xué)的特性。

同任何理想一樣，優(yōu)雅不是總能夠?qū)崿F(xiàn)的。數(shù)學(xué)家們?yōu)楹喍獭⑶逦髁说淖C明而奮斗，但是經(jīng)常必須忍受令人討厭的煩瑣事物。例如，抽象代數(shù)中有限單群分類的證明用了 5000 多頁紙（最終檢驗通過時）。尋求優(yōu)雅的人請另尋出路。

相比之下，數(shù)學(xué)家達到的終極優(yōu)雅是所謂的“無言的證明”，在這樣的證明中一個極好的令人信服的圖示就傳達了證明，甚至不需要任何解釋。很難比它更優(yōu)雅了。例如，考慮下面的例子。

但是第一個基本原則警告說，只有傻子才會依據(jù)一個案例就匆匆得出結(jié)論。我們要利用圖2 去證明這個命題。

圖2

這里我們采用由一塊加上兩塊再加上三塊等這樣階梯式的結(jié)構(gòu)，如圖2陰影部分所示；用方塊擺出n×(n+1)的矩形排列。這個矩形是由兩個完全相圖同的階梯組成的，矩形的面積等于它的長和寬的積，即n×(n+1) ，因此這個階梯的面積一定是矩形面積的一半，即

證畢。

讀者也許觀察到這個“無言的證明”仍然伴隨著一段文字解釋。但是，語言的解釋的確沒有必要，這個圖示值千言萬語。（“無言的證明”是美國《大學(xué)數(shù)學(xué)雜志》的固定專欄。）

下面是另一個不可否認的優(yōu)雅證明。假設(shè)我們從 1 開始把正奇數(shù)依次相加：

1+3+5+7+9+11+13+…

一些經(jīng)驗提示我們，無論把這個加法進行到什么時候，其結(jié)果總是完全平方數(shù)。例如，

這永遠為真嗎？如果是，我們?nèi)绾巫C明這個一般結(jié)果？

下面的推理需要一點代數(shù)知識，根據(jù)觀察：偶數(shù)是 2 的倍數(shù)，因此對某個整數(shù)n，其形式是2n ；而奇數(shù)比 2 的倍數(shù)少 1，因此對某個整數(shù)n，其形式是2n-1。

定理 從 1 開始的連續(xù)奇數(shù)之和是一個完全平方。

證明 設(shè) S 是從 1 開始到2n-1(n＞0)的連續(xù)奇數(shù)之和，即

S=1+3+5+7+…+(2n-1)

顯然我們可以求從 1 到 2n 為止的所有整數(shù)的和，然后再減去偶數(shù)之和就可以得到連續(xù)奇數(shù)之和。換句話說

S=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-(2+4+6+8+…+2n)

=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-2(1+2+3+4+…+n)

這里，我們從第二個方括號的表達式中提出了一個因子 2。

第一個方括號中是從 1 到 2n 的所有整數(shù)的和，而第二個方括號中是從 1 到 n 的所有整數(shù)的和。圖2的“無言的證明”展示了如何求這樣的整數(shù)和，所以我們兩次利用那個結(jié)果：

化簡上式得到

一句話，這個證明是優(yōu)雅的。但是，如果它是我們尋找的那種優(yōu)雅，那么圖3則給出了另一個更短的證明，一個無言的證明。這里奇數(shù)是一個方塊、三個方塊、五個方塊，以此類推，按特殊方法排列。我們從左下角的一個方塊開始，三個有陰影的方塊包圍著它形成一個2×2 的正方形，五個沒陰影的方塊包圍著前面這些方塊形成一個 3×3 的正方形，接下來就是七個有陰影的方塊包圍著前面這些方塊形成一個 4×4 的正方形，以此類推。這張圖示清楚地表明從 1 開始的連續(xù)奇數(shù)的和總是產(chǎn)生一個（幾何的）平方。這個證明非常自然。早在 2000 年前古希臘人就知道它了，現(xiàn)代的后輩可以通過構(gòu)建方塊模仿這一證明。

圖3

溫斯頓·丘吉爾（Winston Churchill）說：“短小的詞為佳，而既古老又短小的詞為最佳?！蔽覀兛梢灾匦旅枋鲞@個優(yōu)雅推理：古老的證明為佳，而既古老又短小的證明為最佳。

基本原則#3：反例的價值

數(shù)學(xué)中有一個非常嚴(yán)酷的現(xiàn)實：為了證明一個一般的陳述需要一個一般的推理；但為了反駁它，只需要一個特殊的例子，一個使這個陳述失敗的例子。后者稱為反例，一個好的反例價值如金。例如，假設(shè)我們有下面的猜測。

我們強調(diào)，盡管可能需要 50 頁紙的推理來證明一個定理，但是只要一行反例就可以反駁它。在證明和反證之間的大戰(zhàn)中，似乎沒有一個公平的競爭環(huán)境。但是，還是要說一句警告的話：尋找反例不像看起來那樣容易。下面的故事就是一個例子。

兩個多世紀(jì)前，歐拉猜測至少要把三個完全立方加起來才能得到另一個完全立方，至少要把四個完全四次冪相加才能得到另一個完全四次冪，至少要把五個完全五次冪相加才能得到另一個完全五次冪，等等。

讀過第 F 章的讀者應(yīng)該意識到，這是費馬最后定理的特殊情況 (n=3)。

提高次數(shù)，我們能夠找到四個完全四次冪，它們之和等于一個四次冪。例如，考慮下面絕非一目了然的例子：

歐拉猜測三個四次冪之和不會產(chǎn)生另一個四次冪，但是沒有給出證明。一般地，他說至少需要n個n次冪，使得它們之和等于另一個n次冪。

這件事在 1778 年成立，近兩個世紀(jì)后它仍然成立。信任歐拉的人不能用證明來肯定歐拉的猜測，但不相信歐拉的人也不能構(gòu)造出一個特殊的反例來駁倒它。這個問題是一個未解問題。

到了 1966 年，數(shù)學(xué)家利昂·蘭德（Leon Lander）和托馬斯·帕金（Thomas Parkin）發(fā)現(xiàn)了下面這個例子：

這表明三個四次冪，而不是歐拉說的四個四次冪，也能生成一個四次冪。

尋找這些反例需要大量努力，甚至動用了計算機的力量，這是非常驚人的。這顯然給出了基本原則 #3 的一個推論：有時候反證比證明更難。

基本原則#4：可以證明否定

在理發(fā)店或快餐店里，我們經(jīng)常聽到這樣一句老話：你不能證明否定。它可能是由下面這樣的對話引發(fā)的：

A：“超市小報說一個小妖精中了獎。”

B：“沒有小妖精這種東西?！?/p>

A：“你說什么呢？”

B：“我說小妖精不存在?！?/p>

A：“你肯定嗎？你能夠證明它不存在嗎？”

B：“當(dāng)然……不能。但是你也不能證明它存在?！?/p>

這個對話很長。用一句話說，它聲稱我們絕對不能證明小妖精不存在。

數(shù)學(xué)家知道得更清楚。一些最偉大、最重要的數(shù)學(xué)推理所論證的就是某些數(shù)、某些形狀、某些幾何結(jié)構(gòu)不存在且不可能存在。人們使用最猛烈的武器，即理性的、嚴(yán)密的邏輯確立了這些不存在的事物。

認為否定不可證明的這種普遍觀念本質(zhì)上是錯誤的。為了證明小妖精不存在，我們似乎需要翻遍愛爾蘭島上的每一塊石頭，翻遍南極洲的每一座冰山。當(dāng)然這是不可能實現(xiàn)的野心。

為了在邏輯上確立不存在的事物，數(shù)學(xué)家采用了一種非常不同然而又非常完美的策略：假設(shè)這個對象的確存在，然后再追蹤由此產(chǎn)生的結(jié)果。如果我們能夠證明存在的假設(shè)將導(dǎo)致一個矛盾的話，那么邏輯法則允許我們得出結(jié)論：我們在第一步中所做的存在的假設(shè)是錯誤的。因此，我們就能夠得出這個事物不存在的毫無爭議的結(jié)論，同時也說明一個事實，即我們采用了一個非直接的途徑所得到的這個結(jié)果是正確的。

在第 Q 章中，我們將討論最著名的不存在證明：為什么不存在等于

的分?jǐn)?shù)？然而，對于我們眼前的目標(biāo)，下面這個例子就足夠了。

定理 不存在邊長分別為 2, 3, 4, 10 的四邊形。

處理這個問題的一個實用方法是截出這些長度的木棍，然后試著把它們擺放成一個有四條邊的圖形。這只是一個說明，然而在邏輯的意義下，這相當(dāng)于要在某塊巖石下找到一個小妖精。即使我們花費了好多年都沒有成功地用這四根木棍擺出一個四邊形，也不能排除也許某個人在某天成功地把它們擺成四邊形的可能性。

合理的方法是我們要間接地證明一個否定。開始我們假設(shè)存在一個四邊形，它的邊長分別是 2, 3, 4, 10，然后再設(shè)法生成一個矛盾，這是一個戰(zhàn)略上的飛躍。

我們假設(shè)的四邊形如圖4 所示。畫出虛線所示的對角線，它把這個四邊形分成兩個三角形，并設(shè) 是這條對角線的長度。第 G 章（古希臘幾何）已經(jīng)說明過，歐幾里得證明了三角形的任意一條邊小于其他兩條邊的和。因此在△ABC 中，我們知道10＜4+x。同樣在△ADC 中，有x＜2+3。把這兩個不等式結(jié)合起來得到

10＜4+x＜4+(2+3)=9

根據(jù)上面的不等式，得到10＜9。這是不可能的。我們最初所做的存在這種特殊的四邊形的假設(shè)導(dǎo)出了這一矛盾，所以說我們的假設(shè)是無效的。

這個四邊形的四條邊長的出現(xiàn)順序（按順時針）是 10, 2, 3, 4。還有其他方法放置這四條邊，如圖5所示，同樣的推理也導(dǎo)出一個矛盾。此時是10＜2+x＜2+(3+4)=9 。這是不可能的。

圖4和圖5

沒有必要再繼續(xù)尋找了，重新布局再多次也是沒有意義的。這樣的四邊形是不可能存在的。我們最終證明了一個否定。

基于矛盾的證明是一個非常好的邏輯策略。假設(shè)我們想要證明的反面是成立的，我們似乎是在毀滅自己的目標(biāo)。但是，最后我們避開了災(zāi)難。哈代把基于矛盾的證明描述為“數(shù)學(xué)家最好的武器之一。它遠比其他任何先手棋策略好得多：象棋手也許要犧牲一個小卒或者其他一枚棋子，但是數(shù)學(xué)家犧牲的卻是整盤游戲“。

問題：還需要人類嗎？

大約在 20 世紀(jì) 70 年代到 80 年代期間，有一種令人不安的映像闖入數(shù)學(xué)家的意識之中。這就是計算機映像，它以光一樣的速度和實質(zhì)上的可靠性接手了證明定理的工作。

令整個數(shù)學(xué)界感到困惑的是此后出現(xiàn)的一些利用計算機來證明定理的情況。這些情況往往把一個定理分解成很多子情況，假如肯定了每一種子情況，那么就可以斷定解決了整個問題。遺憾的是，這種分析通常需要考慮上百種情況，需要成千上萬次計算，而人類沒有可能重復(fù)所有步驟?？傊@樣的證明只能通過其他機器來檢查。

1976 年，計算機證明憑借解決四色猜想問題戲劇般地登上了數(shù)學(xué)舞臺。所謂的四色猜想，是任何畫在平面的地圖都可以用四種（或少于四種）顏色著色，使得擁有共同邊界的任意兩個區(qū)域都被涂上不同的顏色。（例如在圖6中，我們不想給區(qū)域 A 和 B 都涂上紅色，因為那樣一來它們的公共邊界線會被遮住。我們允許給相交于一點的兩個區(qū)域，如區(qū)域 A 和 C 涂上相同的顏色，當(dāng)然一個點不是邊界線。）

四色猜想誕生于 1852 年，在接下來的一個世紀(jì)里引起了廣泛的關(guān)注。有幾個問題很快就被解決了，比如任何平面地圖肯定可以用五種顏色著色，還有就是用三種顏色著色地圖是不充分的。圖 7就給出了這樣的一個地圖。在這張圖上，我們必須使區(qū)域 A、B 和 C 有不同的顏色，因為它們每對都有共同的邊界，但是接下來，除非使用第四種顏色，否則不可能給區(qū)域 D 著色。

因此，五種顏色（可能）太多而三種顏色又不夠。顯然這就需要四種顏色。四種顏色足以給任何平面地圖著色嗎？

我們之前的討論表明，要想解決這個問題只有兩種選擇：要么提出一個特殊的反例，即給出一種不能用四種顏色著色的特殊地圖；要么設(shè)計一個一般的證明，證明任何地圖都能夠這樣著色。對于數(shù)學(xué)家來說，這個反例很難找到。他們制作的每一張地圖無論多么錯綜復(fù)雜，都能僅用紅色、黃色、藍色和綠色著色。（有蠟筆的讀者也許想立即勾畫出一張地圖，然后嘗試一下。）

圖6和圖7

但是，正如我們反復(fù)提醒的那樣，證明可不光是找到幾個反例就算完成了。以前人們會發(fā)瘋地尋找一般推理，但事實證明每一種情況都與尋找反例一樣困難。局勢處于停頓的狀態(tài)。

后來，美國伊利諾伊大學(xué)的阿佩爾（Kenneth Appel）與哈肯（Wolfgang Haken）宣布四色猜想為真，震撼了整個數(shù)學(xué)界。令人們感到震驚的不是這個結(jié)論，而是他們的證明技術(shù)：計算機完成了證明中最艱難的部分。

阿佩爾和哈肯處理這個問題的方法是，把所有平面地圖分成某些類型，然后分別分析每一種類型。遺憾的是，一共有上百種類型需要檢查，每一種類型都給高速計算機帶來大量的工作。最后，計算機宣告這個猜測是真的，即所有可能的類型都可以用四種顏色著色。這個定理得到了證明。

這是真的嗎？說句公道話，當(dāng)時一種不安的情緒在整個數(shù)學(xué)界蔓延。這算得上是一個正確的論證嗎？令人困惑的是，回答這個問題需要一個真正的有血有肉的人每周工作 60 小時，花費大約 100 000 年的時間去檢查計算機的計算。甚至是最健康、最樂觀的人也不可能活那么長時間，總之，誰愿意花這個工夫呢？

如果程序出現(xiàn)了錯誤怎么辦？如果功率突增使得計算機跳過關(guān)鍵的步驟怎么辦？如果計算機的硬件設(shè)計暴露出極少見的微小缺陷怎么辦？總之，我們能夠相信機器大腦能給我們真理嗎？正如數(shù)學(xué)家羅恩· 格雷厄姆（Ron Graham）在考慮這些復(fù)雜問題時提出的那樣：“實質(zhì)的問題是這樣的：如果沒有人能夠檢查一個證明，它還是一個真正的證明嗎？”

直到今天，這個問題也沒有明確的答案，盡管隨著計算機證明變得更加普遍，也許數(shù)學(xué)家們對它們的出現(xiàn)會感到稍舒服些，但是，公正地說，如果四色定理擁有寫了兩頁紙那樣短小、睿智而優(yōu)雅的證明，而不是依靠計算機的蠻力得到的證明，那么大多數(shù)數(shù)學(xué)家也許會輕松地喘口氣。傳統(tǒng)主義者希望古老的數(shù)學(xué)不要被接上電源。

“還需要人類嗎？”此時這個問題的答案仍然是“需要”。畢竟得有人打開空調(diào)吧。但是我們得承認這個觀點也許是有偏見的，因為它的支持者本身是人。

我們關(guān)于數(shù)學(xué)論證的討論到此就結(jié)束了。顯然，還有很多話要說，也應(yīng)該引出其他的議題，應(yīng)該提出其他的基本原則。但是，我們最終得出的最重要的結(jié)論是：無論是優(yōu)雅還是麻煩，是直接還是間接，是依賴于計算機還是人力，數(shù)學(xué)證明的標(biāo)準(zhǔn)不同于其他任何人類活動領(lǐng)域中的標(biāo)準(zhǔn)。

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標(biāo)簽： 基本原則 這個問題 連續(xù)奇數(shù)