一個真實卻又有些荒謬的故事：

一位通用旗下品牌龐蒂亞克汽車用戶，發(fā)現每當他購買香草口味的冰激凌后，他的汽車就無法啟動。于是這位顧客給通用寫了兩封投訴郵件，并在第二次發(fā)送郵件后，成功揭開了汽車與冰激凌之間的關系謎團。

(資料圖)

圖片來源：圖蟲創(chuàng)意

顧客的投訴郵件

這位顧客家有個傳統(tǒng)：每天晚飯后一家人開車去吃冰激凌，并且每天晚上買不同口味的冰激凌。但是當他去買冰激凌時發(fā)現了一個問題：每當買香草冰激凌，汽車都不啟動，但如果買其他口味的冰激凌，汽車就會很好地啟動。

汽車公司的經理雖然很懷疑事情的真實性，但還是派了一位工程師調查這個問題。

工程師和車主見了面，約定一起去買香草冰激凌，他們到了商店，買完冰激凌，發(fā)現車真的不啟動了。

工程師盡量還原場景，并連著三天晚上開車去買冰激凌。

第一晚，買巧克力味的，車啟動了。第二晚，買草莓味的，車啟動了。第三晚，買香草味的，車不啟動。

這到底是怎么回事？經過仔細地勘察和分析，工程師發(fā)現，買香草冰激凌所用的時間遠比買其他口味的要短。

香草冰激凌賣得最好，它被放在商店離門口很近的地方，不需要找，直接拿起來付賬即可。

購買時間又和車的啟動有什么關系？工程師對這個顧客的汽車進行檢查，發(fā)現了“氣阻”的問題。氣阻通常在發(fā)動機較熱時出現，如果汽車的供油系統(tǒng)中出現氣阻，引擎吸燃料時燃料的供應會變得斷斷續(xù)續(xù)，汽車會因此無法啟動或者在行進時熄火。

這位顧客購買的龐蒂亞克汽車就有氣阻的問題。購買其他口味冰激凌花費的時間足以讓引擎冷卻從而讓車順利啟動，而當顧客購買香草冰激凌時，時間短，引擎太熱，氣阻無法及時消失，汽車因此無法啟動。

工程師解決了顧客汽車的氣阻問題，這位顧客以后在購買任何口味的冰激凌時，再也沒有出現車無法啟動的情況。

大部分人看完上文中的故事的收獲是：有時候問題看起來無解，但在冷靜思考后會發(fā)現它的確可以被解釋。如果從數學思維深入分析就會發(fā)現，故事中包含了一個數學概念——條件獨立。

學會條件獨立思維，避免陷入混亂

條件獨立和條件概率有關。我先介紹什么是條件概率。條件概率通常寫成P( A|C ) 的形式，即在事件C發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率。

例如，下雨天通常選擇打車上班。在這個例子里，C就是“下雨天”，A就是“打車”，而P( A|C ) 就是一個接近1的概率值（下雨天通常會打車）。如果去掉C下雨天這個條件，P( A ) 就是通常情況下你打車的概率。明顯可以看出，P( A|C ) 和 P( A ) 是不同的。

知道了什么是條件概率，我們就可以給出條件獨立的定義。在數學上，如果事件A和事件B關于事件C條件獨立，那么有：

P( B|A, C ) = P( B|C )

P( A|B, C ) = P( A|C )

P( B|A, C ) 是在事件A和事件C同時發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率，P( B|C ) 是在事件C發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率。這個公式告訴我們，在條件獨立的情況下，這兩個概率是相同的。

這樣說有些抽象，我們來舉個例子：

一項調查發(fā)現，每當倫敦的出租車駕駛員穿夾克，發(fā)生車禍的概率都會大大增加。很多人猜想是穿夾克導致駕駛員的操作不便，從而增加了事故發(fā)生率。后來又經過仔細研究發(fā)現：下雨天，駕駛員經常穿夾克；下雨時，發(fā)生車禍的概率大。

這個例子中，事件A是“穿夾克”，事件B是“發(fā)生車禍”，事件C是事件背后共同的原因：“下雨天”，三者的關系如圖 7-2 所示，

也就是說，我們知道了“下雨天”，自然就可以推斷出“發(fā)生車禍”的概率比較高，并且“駕駛員穿夾克”實際上并不能幫助我們更好地推測“發(fā)生車禍”的概率。

因此，“穿夾克”（事件A）和“發(fā)生車禍”（事件B）這兩個事件之間沒有因果關系，它們關于“下雨天”（事件C）條件獨立。

總結一下，如果事件A和事B關于事件C條件獨立，那么在知道事件C發(fā)生的前提下，知道事件A或事件B中的一個是否發(fā)生，并不能幫助我們更好地推斷出另外一個事件發(fā)生的概率。

這就是條件獨立的核心思想。

生活中常見的條件獨立案例

如果有一天你家里沒人，并且電器發(fā)生自燃、引發(fā)了火災，你的左右鄰居看到后，都有一定概率會撥打報警電話，但是他們之間不會詢問對方是否打過報警電話。

這個例子中有三個事件：事件A“鄰居A報警”，事件B“鄰居B報警”和事件C“房屋著火”。在這三個事件中，如果我們知道了“房屋著火”，那么我們立刻可以推斷“鄰居A報警”的概率很高。知道“鄰居B報警”，并不能幫助我們推斷出“鄰居 A 報警”的概率。

也就是說，“鄰居A報警”和“鄰居B報警”關于“房屋著火”條件獨立。

再來看個條件獨立的例子：

心理學上有一個情緒ABC理論。這是美國心理學家阿爾伯特·艾利斯（Albert Ellis）提出的一種情緒調節(jié)法。這里的A代表激發(fā)事件（Activating event），是引發(fā)情緒和結果C的間接原因，而引起結果C的直接原因則是個體基于對激發(fā)事件A的認知和評價所產生的信念B。（見圖7-5））

假如一個小學生學習不夠努力、成績不好，他的父母自然感到很生氣。很明顯，學習不夠努力、成績不好，就是父母生氣的直接原因。

可是，仔細分析后會發(fā)現，上文的推理過程并不完全正確?？赡芎⒆訉W習不好并不會直接讓家長郁悶，讓家長郁悶的推理鏈的中間還有一環(huán)，那就是家長的認知。在已知“家長的認知更全面”的前提下，知道“孩子的成績”，并不能幫助我們更好地推測“家長的反應”。

也就是說，“孩子的成績”（事件A）和“家長的反應”（事件C）關于“家長的認知”（事件B）條件獨立。

回到開頭買香草冰激凌汽車就啟動不了的問題：

其中事件A是“購買香草冰激凌”，事件B是“車啟動不了”，事件C是“購買時間短”。

“車啟動不了”的內在原因是“購買時間短”，而不是“購買香草冰激凌”。在“購買時間短”這個事件發(fā)生的前提下，知道“購買香草冰激凌”并不能幫助我們更好地推斷“車啟動不了”的概率。

所以，“購買香草冰激凌”（事件A）和“車啟動不了”（事件B）關于“購買時間短”（事件C）條件獨立。

綜合上述生活中的案例，我們不難看出，兩個事件看似相關，實則關于另外一個事件條件獨立的情況非常普遍。如果意識不到這一點，就很容易犯把“相關性”當成“因果性”的錯誤。學會條件獨立的數學思維，才能幫助我們有效避免陷入混亂。

文章由科普中國-星空計劃（創(chuàng)作培育）出品，轉載請注明來源。

作者：北京航空航天大學副教授、博士生導師 劉雪峰

審核：華中師范大學數學與統(tǒng)計學學院 副教授 鄧清泉

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