1975年12月期的《美國數(shù)學(xué)月刊》(The American Mathematical Monthly) 發(fā)表的一篇文章Period three implies chaos（《周期三則意味著混沌》），在數(shù)學(xué)上第一次創(chuàng)造了混沌一詞，引領(lǐng)了科學(xué)界和數(shù)學(xué)界探索自然演化和函數(shù)迭代過程中那些展現(xiàn)出未來不可預(yù)測性的新浪潮。該文不僅是從科學(xué)領(lǐng)域中提煉出數(shù)學(xué)洞見的典范之作，而且還以豐富的內(nèi)涵反哺自然科學(xué)和工程技術(shù)。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

【資料圖】

1

我在上一篇《返樸》文章《氣象學(xué)家與數(shù)學(xué)家的混沌接力》中講到，是“混沌之父” 愛德華·洛倫茨揭示出天氣變化具有內(nèi)在“蝴蝶效應(yīng)”混沌本質(zhì)的那篇重磅論文《確定性的非周期流》，催生出“李-約克混沌”的數(shù)學(xué)概念。然而他們據(jù)此而寫成的文章初稿卻差點(diǎn)與《美國數(shù)學(xué)月刊》（下稱“《月刊》”）失之交臂。

李-約克定理被老師提出、學(xué)生證明后，文章真的按照李天巖的 “玩笑式建議”投給了《月刊》。為什么這么漂亮的一個數(shù)學(xué)定理加上一個新定義的數(shù)學(xué)名詞“混沌”要投給一個數(shù)學(xué)上的“大眾雜志”呢？約克自有打算，他深知這個來源于自然科學(xué)卻反過來又能為自然科學(xué)提供廣泛服務(wù)的數(shù)學(xué)定理將給科學(xué)界傳遞一個極其重要的信息：確定性的世界中也會隱藏著隨機(jī)性，所以他想讓盡可能多的人了解并領(lǐng)會這個觀念。眾所周知，越是高深專門的學(xué)術(shù)期刊，讀者人數(shù)越是稀少，約克決心要讓天下的人都知道他和李天巖關(guān)于函數(shù)迭代的絕妙想法和驚人結(jié)果?！对驴肥侨澜缱x者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)期刊，于是約克將希望傳播混沌之?dāng)?shù)學(xué)刻畫的目光投向了它。

然而，投稿結(jié)果卻遭遇了滑鐵盧，并且之后的故事甚至頗具戲劇性。文章投出去不久就被編輯退回，理由是該文寫得過于研究性，不太適合一般讀者，尤其是作為主要讀者群的大學(xué)生。因此編輯建議作者轉(zhuǎn)投研究型專業(yè)雜志?；蛟S編輯還是看到了此文數(shù)學(xué)內(nèi)容的獨(dú)具魅力之處，在拒稿信的末尾又加寫了一句話：倘若把文章改寫到一般學(xué)生都能讀懂的地步，可以再投回《月刊》考慮。由于這句并非“多余的話”，最后的結(jié)局讓這份雜志與讀者一樣也獲益甚多：我的韓國裔師兄李弘九教授五年前曾告訴我，李-約克論文在明年將慶祝創(chuàng)刊130周年的《美國數(shù)學(xué)月刊》歷史上被引用次數(shù)排名第二高；根據(jù)“谷歌學(xué)術(shù)”上的記錄，它已被引用了超過5670次，這對通常而言引用次數(shù)遠(yuǎn)非生命科學(xué)和工程技術(shù)等應(yīng)用學(xué)科對手的數(shù)學(xué)文章而言，是極為罕見的。

但是，當(dāng)時的李天巖實(shí)在太忙。他一生中最顯赫的三項數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)都是在那兩三年做出來的，除了這項“周期三”的工作已寫出文章外，他還在繼續(xù)從事微分方程方面的研究，同時又在自己選修的一門研究生課程《非線性方程組數(shù)值解》中獲得靈感而穿梭于大學(xué)的計算中心和公寓之間，埋首于通過數(shù)值逼近構(gòu)造性證明布勞威爾不動點(diǎn)定理，即將開辟出求解非線性方程組的“現(xiàn)代同倫延拓法”這一嶄新的疆場。他既沒有工夫修改這篇文章，也不知道怎么改它。由于沒有新的應(yīng)用論題的激勵，約克教授一時也缺乏動力按編輯的建議行事，于是乎，這篇文章就被他們放在一旁束之高閣了將近一年。

上天終于賜給他們一個修改文章的契機(jī)。1974年是馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系“情系”生物數(shù)學(xué)的“特殊年”。這一年里的每個禮拜都有“生物數(shù)學(xué)”領(lǐng)域里的優(yōu)秀學(xué)者來這里演講。在五月份的第一個星期，普林斯頓大學(xué)冠名為“1977屆”的動物學(xué)講座教授羅伯特·梅被請來演講一周。在星期五的報告中，梅教授專門講述了他在種群動力學(xué)中迭代那個邏輯斯蒂映射后的種種發(fā)現(xiàn)：在繁殖率參數(shù)μ由3變到4的過程中，函數(shù)迭代點(diǎn)數(shù)列之最終性態(tài)令人眼花繚亂地愈變愈復(fù)雜。他對這一現(xiàn)象深感困惑，難以合理解釋，覺得或許是因為計算誤差從中作怪。聽完梅博士的報告后，約克在送他去往飛機(jī)場的途中，把自己和李天巖被冷淡了將近一年的那篇文章遞給他看。對方一讀到文章中得出的“周期三則亂七八糟”結(jié)論后，大為吃驚，馬上認(rèn)定此定理大大解釋了他的疑問。（參見《一名生態(tài)學(xué)家的數(shù)學(xué)探索》）

約克從梅那里獲得了修改文章的動力，他送客歸來后立刻跑到李天巖的辦公室大叫：“我們應(yīng)該馬上改寫這篇文章！”文章在兩個星期內(nèi)以更闡述性的寫作方式修改完畢，重新投回《月刊》，三個月后被編輯接受，并最終刊登在第八十二卷第十期上，頁碼為985-992，僅僅八頁長。

《美國數(shù)學(xué)月刊》1975年12月期

梅幸運(yùn)地成了李-約克定理的第一個受惠人，所以也理所當(dāng)然地充當(dāng)了志愿宣傳員的角色。同年夏天他去歐洲講演時，到處傳播李-約克定理，“李-約克混沌”的概念很快四處散開，也讓概念的兩位提出者聲名遠(yuǎn)播。一篇并非刊登在頂尖數(shù)學(xué)期刊，而是發(fā)表在面向廣大讀者的闡述性數(shù)學(xué)雜志上的文章，成了掀起數(shù)學(xué)界、科學(xué)界及工程界對混沌動力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究新熱潮的開路先鋒之作。

2

然而，新一波的戲劇性故事出現(xiàn)了。1975年，還在論文正式問世前，約克參加了在東德柏林舉辦的第七屆國際非線性振蕩會議，當(dāng)他做完關(guān)于“李-約克定理”的報告后，便和會議代表一道走上一條游艇集體觀賞沿河美景，一個生于烏克蘭加盟共和國的蘇聯(lián)參會者發(fā)現(xiàn)他近在咫尺，便走了過去想與之交談，目的是告知對方自己十年前證明的一個定理。但這兩個人一個不會俄語，一個英文不佳，讓他們難以溝通。于是性急的烏克蘭數(shù)學(xué)家找來一位波蘭同行，但波蘭人只通法語，最后烏克蘭人又找到一個懂英文的法國人加入翻譯團(tuán)隊，經(jīng)過至少三種聯(lián)合國通用語言俄語、法語和英語的接力棒口譯，約克終于聽懂對方在向他宣稱早已證明了關(guān)于周期點(diǎn)模式的更廣結(jié)果。然而，為了保護(hù)神圣的知識產(chǎn)權(quán)，此人拒絕提供關(guān)于此更多的細(xì)節(jié)，只說他回國后會寄上論文。四個月以后，約克收到了那篇論文的復(fù)印件。果然如此，論文的結(jié)果非常漂亮，較李-約克定理中關(guān)于周期點(diǎn)的結(jié)論(i)更為一般。（參見《周期模式的發(fā)現(xiàn)者——紀(jì)念烏克蘭數(shù)學(xué)家沙可夫斯基》）

這位講俄語的數(shù)學(xué)家就是沙可夫斯基(Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky，1936-2022)，烏克蘭基輔人，于1964年在祖國的《烏克蘭數(shù)學(xué)雜志》(Ukrainian Mathematical Journal) 第十六卷中刊登了一篇俄語論文，其標(biāo)題的中文翻譯是“實(shí)數(shù)軸上到自身的連續(xù)映射循環(huán)之共存性”。在文章中他歷史上第一次對所有的自然數(shù)給出了如下的排序，現(xiàn)稱為沙可夫斯基序列：

然后他證明了如下的結(jié)果：

沙可夫斯基定理如果將實(shí)數(shù)軸映到自身的一個連續(xù)函數(shù)有周期為m的周期點(diǎn)，則對在沙可夫斯基序列中排在m 后面的任一個自然數(shù)n，該函數(shù)也有周期為n的周期點(diǎn)。

由于在沙可夫斯基序列中，3是排在首位的自然數(shù)，故上述定理的一個特別推論是：如果將實(shí)數(shù)軸映到自身的一個連續(xù)函數(shù)有周期為3的周期點(diǎn)，則對任一個自然數(shù)n，該函數(shù)也有周期為n的周期點(diǎn)。這恰恰是李-約克定理的結(jié)論(i)。然而，沙可夫斯基的定理就到此為止了，它沒有關(guān)于在該函數(shù)迭代過程中任何不規(guī)則行為的結(jié)論，而這個根本性的結(jié)論出現(xiàn)在李-約克定理的結(jié)論(ii)和(iii)中！

更進(jìn)一步，真正的李-約克定理并非是幾乎所有知道李-約克論文標(biāo)題或聽說過“李-約克混沌故事”卻沒有讀過原始論文的人們或許以為的“若周期三點(diǎn)存在，則結(jié)論如何如何”的那個形式，而是其假設(shè)條件更廣、應(yīng)用價值更大的一顆數(shù)學(xué)藍(lán)寶石。在李天巖與約克的論文《周期三則意味著混沌》中，定理的假設(shè)遠(yuǎn)比“存在周期三點(diǎn)”更為寬闊：存在一個點(diǎn)a，使得該點(diǎn)被給定連續(xù)函數(shù)持續(xù)迭代兩次后都變大，但在第三次迭代后卻跌落到小于或等于a，或a在該函數(shù)接連迭代兩次后都變小，但在第三次迭代后卻跳升到大于或等于a。如用代數(shù)不等式表示，就是

而“周期三點(diǎn)存在”這一假設(shè)只是滿足如上條件的一個特例而已，亦即上面的廣義不等號“≤”或“≥”換成等號“=”。這個特殊的情形成就了文章的四個英文單詞精煉標(biāo)題，但卻導(dǎo)致了一個小小的副作用，就是讓許許多多沒有讀過文章主體的人誤認(rèn)為定理只對具有周期三點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)成立。

于是，最準(zhǔn)確的李-約克混沌定理是如下的命題表述：

李-約克定理設(shè)f是一個連續(xù)函數(shù)，將定義域區(qū)間映到自身。若在定義域中存在一點(diǎn)a使得

3

在打算用淺顯語言論證李-約克定理結(jié)論(i)之前，我先解釋一下結(jié)論(ii)和(iii)中出現(xiàn)的三個數(shù)學(xué)概念：不可數(shù)、上極限及下極限?！安豢蓴?shù)”的反義詞是“可數(shù)”。一個集合如果其所有元素的個數(shù)與所有自然數(shù)的個數(shù)一樣多，即這些元素可以像自然數(shù)那樣排成一個無窮序列，則這個集合被稱為是可數(shù)的。反之，如果一個集合的元素個數(shù)比所有的自然數(shù)還要多，同時又至少和所有的無理數(shù)一樣多，那么我們就說這個集合是不可數(shù)的。所有的實(shí)數(shù)全體，即把所有的有理數(shù)和所有的無理數(shù)放在一起，是不可數(shù)的。同樣地，任意兩個不同實(shí)數(shù)之間的所有實(shí)數(shù)也是不可數(shù)的。

李-約克定理中的那個不可數(shù)集合A也常被稱為一個“亂序集”，這里的“亂序”是英文過去分詞scrambled的翻譯。一對點(diǎn) x 和 y 被叫作亂序，如果將給定的函數(shù)重復(fù)應(yīng)用于這對點(diǎn)，它們會靠得更近，然后分開，然后靠得更近，然后分開，等等，從而使它們可以任意地相互靠近，但又不可能永遠(yuǎn)靠得很近。人生中這樣的經(jīng)歷很多，比如經(jīng)常吵架的夫妻好起來的時候可以“親密無間”，但一旦因小事導(dǎo)致彼此怒目而視就可能離得遠(yuǎn)遠(yuǎn)的。這和炒雞蛋是類似的現(xiàn)象，因此英語詞組scrambled eggs的中文翻譯是“炒雞蛋”。常在家中廚房里大炒雞蛋的動力系統(tǒng)學(xué)者可能最善于吸取李-約克混沌的精髓！如果一個集合的任意兩個不同的點(diǎn)都是亂序的，則稱該集合是亂序的。這樣，李-約克定理結(jié)論的第二部分可以簡寫為“存在定義域內(nèi)一個不可數(shù)的亂序集?！?/p>

現(xiàn)在，我開始證明定理的結(jié)論(i)，但先證明其中n = 1的特殊情形，讓讀者熱一熱身后慢慢進(jìn)入角色。然后我們考慮一般的情形，但如同李天巖教授所倡導(dǎo)并于2017年他一生中最后一次親手實(shí)踐的那樣，我不對大于 1的任意自然數(shù)n求證，而只對n = 4證之，因為思想的火花全在這里閃爍。記b = f(a)，c = f(b)及d = f(c)。我只證明：若d ≤ a < b < c，則f具有一個周期為4的周期點(diǎn)。希望好學(xué)的讀者讀完證明后，用類似的方法補(bǔ)證：若d ≥ a > b > c，則同樣的斷言也對。

證明的基礎(chǔ)是初等微積分里關(guān)于連續(xù)函數(shù)的“介值定理”；約克教授已在《返樸》文章《一個考分總拿C的學(xué)生是如何成為著名數(shù)學(xué)家的？》給出了該定理的證明。沒有學(xué)過它的人也會懂得它的幾何意義：定義在閉區(qū)間[a, b]上的一個連續(xù)函數(shù)的圖象，如果其兩端點(diǎn)各在x-軸的一邊，則它一定穿過x-軸。翻譯成代數(shù)語言，就是：如果閉區(qū)間[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f滿足f(a)f(b) < 0，則f在開區(qū)間(a, b)內(nèi)一定有零點(diǎn)。這條性質(zhì)有一重要的推論：連續(xù)函數(shù)將定義域中的區(qū)間映成區(qū)間。換言之，設(shè)I是連續(xù)函數(shù)f定義域的一個子區(qū)間，則它在f下的像f(I) = {f(x): x∈I}也是一個區(qū)間。這里數(shù)學(xué)符號“∈”表示“屬于”，即它左邊的x是它右邊I的一個元素。區(qū)間具有“連通性”：如果一個區(qū)間包含兩點(diǎn)u < v，則它包含閉區(qū)間[u, v]。這個性質(zhì)將會像變魔術(shù)一般地在后面李-約克定理的證明中多次被玩。

介值定理的另一個推論是著名的布勞威爾不動點(diǎn)定理在一維情形時的特例：若定義在[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f的值域f([a, b])包含在[a, b]內(nèi)，則f在[a, b]中有不動點(diǎn)。要證明它，定義連續(xù)函數(shù)g(x) = f(x) – x。顯然g(a) = f(a) – a ≥ 0及g(b) = f(b) – b ≤ 0。若a或b是f的不動點(diǎn)，則推論得證，否則的話，必有g(shù)(a)g(b) < 0，故由介值定理，開區(qū)間(a, b)內(nèi)某個p是g的零點(diǎn)，它就是f的不動點(diǎn)。

上面眾所周知的不動點(diǎn)定理在這里用不上，于是，博士生李天巖為了完成導(dǎo)師的光榮任務(wù)，用介值定理又造出一個不動點(diǎn)定理：若定義在[a, b]上的連續(xù)函數(shù)f的值域f([a, b])包含[a, b]，則f在[a, b]中有不動點(diǎn)。下面我來證明這個“李天巖不動點(diǎn)定理”：

由假設(shè)，閉區(qū)間[a, b]是值域區(qū)間f([a, b])的子集，故數(shù)a和b都在f([a, b]) 中，因而存在[a, b]中的兩個數(shù)α和β，使得a = f(α)及b = f(β)。既然α和β屬于[a, b]，就有如下的小于或等于關(guān)系：a ≤ α ≤ b及a ≤ β ≤ b。定義連續(xù)函數(shù)g(x) = f(x) – x，則

g(α) = f(α) - α = a – α ≤ 0， g(β) = f(β) - β = b – β ≥ 0。

這樣，介值定理保證在α和β之間有f的不動點(diǎn)（可能為α或β）。因為以α和β為兩端點(diǎn)的閉區(qū)間[α, β]或[β, α]是[a, b]的子區(qū)間，這個不動點(diǎn)屬于[a, b]。證畢。

李天巖只需想出最后一個“引理”就可以證明“約克猜想”為真了。它是：設(shè)f是閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)且[a, b]包含在值域f(I)之中，則I包含一個閉區(qū)間J使得f(J) = [a, b]。這里我稱它為“李天巖引理”，它在后面關(guān)于李-約克定理結(jié)論(i)內(nèi)n = 4時的證明中要被用到三次，而對一般n的情形證明時則要用n-1次，所以必須要證出它：

因為f(I)包含[a, b]，所以存在I中的兩點(diǎn)α和β使得f(α) = a及f(β) = b。設(shè)α < β。令r為[α, β]中所有滿足等式f(r) = a的r中最靠近β的那個。它存在的理由是：如果只有有限個等式f(r) = a，那么最靠近β的那個r一定存在（這和命題“有限個實(shí)數(shù)中有最大數(shù)”是同一個道理），如果有無窮多個這樣的等式，則需要更高深一點(diǎn)的論據(jù)了：存在單調(diào)遞增數(shù)列{rn}一步步向β挺進(jìn)且滿足f(rn) = a，由單調(diào)收斂定理知{rn}收斂到極限r(nóng)，因為f是連續(xù)函數(shù)，在恒等式f(rn) ≡ a中取n趨于無窮大時的極限，就有f(r) = a，這個r最靠近β。然后，出于同樣的理由，在r和β之間滿足f(s) = b的所有s中取最靠近r的那個。令J = [r, s]，則f(J) = [a, b]。讀者可用類似的論據(jù)對第二種情形α > β寫下證明。證畢。

好了，我們的裝備齊全了，可以攻克李-約克定理結(jié)論(i)。先證f有不動點(diǎn)，這相對簡單。采用該定理的所有符號，從假設(shè)f(b) = c和f(c) = d ≤ a < b < c及區(qū)間的連通性，可得如下關(guān)系

f([b, c]?[d, c]?[b, c]，

其中符號“?”表示其左邊的集合包含右邊的集合。故由上述的李天巖不動點(diǎn)定理，連續(xù)函數(shù)f在區(qū)間[b, c]中有一個不動點(diǎn)。

4

看懂如上數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程的讀者一定會佩服邏輯推理的處處嚴(yán)密之妙。堅持求證精神，養(yǎng)成質(zhì)疑習(xí)慣，能極大地保護(hù)我們不被當(dāng)今網(wǎng)絡(luò)世界中的不實(shí)信息迷惑，因為邏輯的力量是強(qiáng)大的。這也是為何我寫作數(shù)學(xué)科普文章時不只滿足于講講故事，而是設(shè)法引導(dǎo)讀者思考、推理。

上面對于n = 4的證明思想對于一般n情形的李-約克定理結(jié)論(i)之證明別無二樣。此外結(jié)論(ii)和(iii)的證明思路依然出自上面，不過其演算過程更為繁復(fù)，我也不想多花讀者的時間了，感興趣者可以閱讀李-約克原始論文的附錄2。

有趣的是，李-約克定理中的條件無論是“深受束縛”的“周期三點(diǎn)存在”還是“放任自由”的“不等式假設(shè)”，定理的證明完全一樣，但后者更廣的條件就將“李-約克定理關(guān)于周期-n點(diǎn)的存在性結(jié)論是沙可夫斯基定理的特例”這一非真判斷掃進(jìn)了垃圾堆。某些關(guān)于離散動力系統(tǒng)的教科書在講到周期點(diǎn)時只提沙可夫斯基定理，不提李-約克定理，作者或許就中了這個論斷的毒。

十一年前，當(dāng)我撰寫科普著作《智者的困惑——混沌分形漫談》時，曾與李天巖教授通信請教幾個歷史事件的來龍去脈。他在給我的一封信件中這樣比較李-約克定理和沙可夫斯基定理：

“我們定理的更一般假設(shè)和沙可夫斯基的序列有一個很大的不同，可是這在應(yīng)用上卻有極大的差距。好比說在種群動力學(xué)上，種群的第一代和第二代都是在增長，但是在第三代卻突然大降，于是乎什么‘鬼現(xiàn)象’都可能發(fā)生，但是第三代的種群數(shù)要降到和第一代一模一樣（意指周期三點(diǎn)存在）恐怕不大可能。從這個角度來看，沙可夫斯基序列也許比較適合放在象牙塔里?！?/p>

這里“象牙塔”的意思是為追求數(shù)學(xué)之美而研究數(shù)學(xué)，但罔顧其與自然界的深層關(guān)系。沙可夫斯基定理確實(shí)是離散動力系統(tǒng)這一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)科目中的漂亮結(jié)果，但它也折射出一部分?jǐn)?shù)學(xué)家的哲學(xué)理念。他們?yōu)榱藬?shù)學(xué)的光榮而做數(shù)學(xué)，以“數(shù)學(xué)無用”而自豪。他們當(dāng)中最著名的代表人物就是上世紀(jì)英國杰出的純粹數(shù)學(xué)家哈代 (Godfrey Harold Hardy，1877-1947)。他在經(jīng)典隨筆《一個數(shù)學(xué)家的辯白》(A Mathematician’s Apology) 中稱那些在工程技術(shù)中應(yīng)用廣泛的微積分是“缺乏美學(xué)價值的數(shù)學(xué)”，在他眼里，最美的數(shù)學(xué)是沒有用途的。然而，正是微積分學(xué)中的介值定理，敲出了自然界中“周期三”的外殼緊緊裹住的“擬隨機(jī)硬核”。

這個表達(dá)確定性系統(tǒng)擬隨機(jī)性的數(shù)學(xué)名詞“混沌”首次被李-約克論文所創(chuàng)建。后人將在周期三的背景下產(chǎn)生的混沌特指為“李-約克混沌”，以別于從80年代起離散動力系統(tǒng)教科書中出現(xiàn)的更廣泛并且更標(biāo)準(zhǔn)的“混沌”定義。一個常采用的定義如下：函數(shù)f: [a, b] → [a, b]被稱為是混沌的，如果它在定義域上具有對初始條件的敏感依賴性，或它在所有的非最終周期點(diǎn)上都具有正的李雅普諾夫指數(shù)。這個著名的指數(shù)是關(guān)于對初始條件敏感依賴性的一個量化。也有一個“強(qiáng)混沌”定義：混沌函數(shù)f: [a, b] → [a, b]被稱為是強(qiáng)混沌的，如果它是傳遞

由此看來，對于混沌函數(shù)確定性意義下的迭代過程，絕大多數(shù)的迭代點(diǎn)軌道未來的走向是不可預(yù)測的，呈現(xiàn)出亂七八糟的最終狀態(tài)，似乎難以遵循普遍規(guī)律。然而，我們對此真的是一籌莫展嗎？在我們身在其中的自然世界，確定性與隨機(jī)性是并立于世的兩大客觀現(xiàn)象；對應(yīng)地，研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)——概率論，同樣在探索混沌迭代的歷程中扮演了不凡的角色。這時，一門綜合性數(shù)學(xué)學(xué)科——遍歷理論——身負(fù)重任出征疆場，把混沌這匹野馬調(diào)教得服服帖帖。

出品：科普中國

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