19 世紀的代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的新的數(shù)學(xué)對象（矩陣、代數(shù)、群、簇等）開始被數(shù)學(xué)家們運用到他們的研究工作中，他們把這些新數(shù)學(xué)對象作為解決幾何學(xué)、拓撲學(xué)、數(shù)論和函數(shù)論等其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題的工具。法國數(shù)學(xué)家龐加萊最先將拓撲學(xué)的思想代數(shù)化，成為代數(shù)拓撲的創(chuàng)始人。而他的傳人布勞威爾，更是一位非常有想法的哲學(xué)家——直覺主義的創(chuàng)始人。

撰文 | 約翰·德比希爾（John Derbyshire）

翻譯 | 張浩

【資料圖】

拓撲學(xué)通常被叫作“橡皮幾何學(xué)”。想象一個二維曲面，例如球面，假設(shè)它是由某種可伸縮的材料制成的。這個橡皮球面可以通過拉伸或擠壓變換成其他任意與球面“相同”的曲面，這就是拓撲學(xué)家關(guān)心的東西。為了讓拓撲學(xué)具備數(shù)學(xué)的精確性，你需要再制定一些規(guī)則，例如切割、黏合、把一個有限區(qū)域“擠壓”成一個沒有維度的點，或者允許這個橡皮曲面可以像霧一樣穿過自身，這些規(guī)則在不同的應(yīng)用中略有不同。不過在這里，這種寬泛而熟悉的定義已經(jīng)足夠了。

直到 19 世紀末，拓撲學(xué)都沒有顯示出與代數(shù)有多大關(guān)系。事實上，它的早期發(fā)展非常緩慢?！巴負洹边@個詞最早是哥廷根數(shù)學(xué)家約翰·利斯廷（Johann Listing，1808-1882）在 19 世紀 40 年代使用的。利斯廷的很多想法都似乎來自高斯，他與高斯關(guān)系很密切。然而，高斯從未發(fā)表過任何與拓撲相關(guān)的文章。1861 年，利斯廷描述了一個單側(cè)曲面，現(xiàn)在我們稱之為莫比烏斯帶（圖1）；莫比烏斯在四年后也寫下了關(guān)于這個曲面的文章，由于某些原因，正是他的介紹才引起了數(shù)學(xué)家們的注意。盡管現(xiàn)在為其正名為時已晚，但是我還是將圖 14-1 標記為利斯廷帶，為利斯廷恢復(fù)一點點公正。

圖1 利斯廷帶

另外，如果是有折痕的球面（圖2），從上面剪下來一塊小圓片，那么剩下的部分就與利斯廷帶拓撲等價。兩個對象在適當(dāng)?shù)睦旌蛿D壓下“相同”（即拓撲等價）可以用一個更漂亮、更時髦的術(shù)語來表述：同胚。不過，說起它，要說的可就多了，為了使表述簡單起見，我還是繼續(xù)用“拓撲等價”這個詞。

圖2 拓撲意義下的射影平面

1851 年，黎曼在他的博士論文中使用復(fù)雜的自相交曲面來幫助理解函數(shù)，這一做法是推動拓撲思想發(fā)展的另一個因素。在仔細研究這些黎曼曲面后，若爾當(dāng)提出了一個研究這些曲面的想法——觀察嵌入在其中的封閉路徑，看看會發(fā)生什么。我在這里用“曲面”代替“空間”，使其更直觀一些。

例如，想象一個球面，取球面上的一點，從這一點出發(fā)，沿一個圈行走，直到回到原點。如果不對你剛才走過的這條路徑做任何非拓撲的操作，也不離開這個曲面，那么它能一直收縮到這個出發(fā)點嗎？它能夠光滑而連續(xù)地收縮嗎？是的，它可以。這個球面上的任何一條路徑都可以做到這一點。

對于一個環(huán)面來說就不是這樣了。圖3中描繪的路徑 a或路徑 b 都不能收縮到點 P，但是路徑 c 可以收縮到點 P。因此，也許研究這些路徑確實可以讓我們了解關(guān)于曲面拓撲的信息。

圖3 環(huán)面上的閉路

閉路族能構(gòu)成一個群嗎？

1895 年，一位才華橫溢的法國數(shù)學(xué)家把這些想法代數(shù)化，這位數(shù)學(xué)家就是巴黎綜合理工學(xué)院的亨利·龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）。龐加萊是這樣陳述的：考慮一個曲面上的所有可能的若爾當(dāng)閉路，即起點和終點相同的所有路徑。令這個基點固定不動，把所有閉路分成若干集族，如果一條閉路能夠光滑地變形為另一條閉路，那么這兩條閉路就屬于同一個族，即它們是拓撲等價的。考慮這些族，無論它們有多少。兩個族的合成定義如下：首先經(jīng)過第一個族的一條路徑，然后再經(jīng)過第二個族的一條路徑（選擇哪條路徑無關(guān)緊要）。

現(xiàn)在，你有了一個以閉路族為元素的集合，而且還有一種將兩個元素合成為另一個元素的方法。這些元素（即閉路族）能構(gòu)成一個群嗎？龐加萊證明它確實是一個群，于是代數(shù)拓撲就這樣誕生了。

你還需要一小步就可以得到任意曲面的基本群的概念——你需要擺脫你的閉路對任意特定基點的依賴（事實上，它們無須是我定義的精確的若爾當(dāng)閉路）。這個群中的元素是這個曲面上的路徑族，合成兩個路徑族的法則如下：首先經(jīng)過第一個族的一條路徑，再經(jīng)過第二個族的一條路徑。球面的基本群實際上是只有一個元素的平凡群。每一條閉路都可以光滑地收縮成這個基點，所以只有一個路徑族。

我提到過，球面的基本群是只有一個元素的平凡群。但是這個事實本身卻并不平凡。

事實證明，任何以只有一個元素的平凡群為基本群的二維曲面一定與球面拓撲等價?，F(xiàn)在，我們熟悉的嵌入在普通三維空間里的二維球面在高維空間中有類似物。例如，一個彎曲的三維空間“就像”一個球面，但是它處于四維空間中，有時被稱為超球面。有時也被稱為三維球面。然而人們很難在頭腦中想象這個術(shù)語，至少對非數(shù)學(xué)專業(yè)人士來說是這樣的。“三維球面”是指普通球的二維表面彎曲地放在三維空間中的二維曲面嗎？還是指一個超球的難以想象的三維表面彎曲地放在四維空間中的三維曲面呢？對數(shù)學(xué)家來說，三維球面指的是后者，因為黎曼告訴我們要從一個流形的內(nèi)部考慮流形這個空間。不過，非數(shù)學(xué)專業(yè)人士通常把二維曲面放在三維空間中觀察，所以前者也有點兒道理。

問題來了：在四維空間中，任何一個以平凡群為基本群的三維彎曲空間與這個超球面是否也是拓撲等價的？

1904 年，龐加萊提出了著名的龐加萊猜想，斷言上述問題的答案是肯定的。直到 2005 年末，這個猜想既沒有被證明，也沒有被推翻。在發(fā)表于2002年和2003年的一系列論文中，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman，1966-）證明了它是正確的。當(dāng)我在寫這本書時（本書英文版出版于2006年5月），數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谠u審佩雷爾曼的工作。根據(jù)這些評審報告的非正式報道，越來越多的人認為佩雷爾曼實際上已經(jīng)證明了這個猜想。龐加萊猜想是七個千禧年大獎難題之一，解決其中任何一個問題都將獲得美國馬薩諸塞州劍橋市的克雷數(shù)學(xué)研究所提供的100萬美元獎金。

當(dāng)一個數(shù)學(xué)理論開始產(chǎn)生猜想時，它就開始活躍起來了。拓撲學(xué)就是伴隨著龐加萊 1895 年出版的著作《位置分析》而活躍起來的。在拓撲學(xué)發(fā)展的最初幾十年間，它經(jīng)常被稱為“位置分析”。直到 20世紀 30 年代，人們才普遍用“拓撲學(xué)”來命名這個學(xué)科。我想這應(yīng)該感謝所羅門·萊夫謝茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）。

數(shù)學(xué)思想的“矛盾”

龐加萊成為現(xiàn)代拓撲學(xué)的創(chuàng)始人，這里有點兒奇怪。

數(shù)學(xué)家認為，拓撲學(xué)實際上有兩種風(fēng)格：一種源自幾何學(xué)的啟示，另一種源自分析學(xué)。這里的“分析”指的是數(shù)學(xué)意義中的分析，即以函數(shù)、極限、微分和積分作為研究對象的數(shù)學(xué)分支，這些研究對象都與連續(xù)性有關(guān)。如果你回頭看一下我在前面多次提到的光滑和連續(xù)變形，你就會掌握這種拓撲意義中的聯(lián)系。從某種意義上說，如果沒有光滑、連續(xù)、從一個位置到另一個位置的無窮小移動等基礎(chǔ)概念，即一些分析的思維方式，那么拓撲學(xué)就沒有意義。

用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，分析的對面是組合。在組合數(shù)學(xué)中，我們研究的事物可以數(shù)出來：1、2、3，等等，且整數(shù)之間不存在其他數(shù)。因為相鄰整數(shù)之間沒有整數(shù)，所以從一個整數(shù)到另一個整數(shù)沒有一條光滑的路徑，我們需要跳過一個個間隔。分析數(shù)學(xué)是連貫的，可以光滑地在連續(xù)的空間中穿梭；而組合數(shù)學(xué)是斷斷續(xù)續(xù)的，從一個整數(shù)直接跳躍到另一個整數(shù)。

如今，拓撲學(xué)應(yīng)該是所有數(shù)學(xué)研究中最具有連貫性的，因為橡皮面可以光滑、連續(xù)地彎曲和伸縮。然而，最早出現(xiàn)的拓撲不變量卻是一個表示孔洞數(shù)的整數(shù)，它用來衡量一個曲面內(nèi)環(huán)狀孔洞的個數(shù)，是由瑞士數(shù)學(xué)家西蒙·呂利耶（Simon l"Huilier，1750-1840）于 1813 年發(fā)現(xiàn)的。維數(shù)是另一個拓撲不變量（在拓撲意義中，你不能把一根鞋帶變成一張煎餅，或把一張煎餅變成一塊磚），它也是一個整數(shù)。甚至連龐加萊發(fā)現(xiàn)的那些基本群也不是像李群那樣的連續(xù)群，而是可數(shù)的離散群。盡管這些群可能是無限群，但是它們的元素可以數(shù)出來：1、2、3，等等。連續(xù)群中的元素是不可數(shù)的。所以，拓撲學(xué)中所有有趣的東西似乎都是離散的，而不是連續(xù)的。

自相矛盾的是，龐加萊經(jīng)由分析學(xué)進入拓撲學(xué)，確切地說，他是在研究微分方程的一些問題時來到了拓撲學(xué)領(lǐng)域。然而，他的研究結(jié)果以及他在《位置分析》中的所有思想都是組合的。從分析角度研究拓撲學(xué)（現(xiàn)在通常被稱為點集拓撲學(xué)）對他而言沒什么吸引力。

同樣的矛盾在荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾（1881-1966）的身上更加明顯，他是龐加萊最重要的代數(shù)拓撲傳人。正是布勞威爾在 1910 年證明了維數(shù)是一個拓撲不變量。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，更為重要的是他的不動點定理。

布勞威爾不動點定理

n維球體到自身的任意連續(xù)映射都有一個不動點。

n維球體就是實心單位圓盤（平面上到原點的距離不超過一個單位的點的全體）的概念或?qū)嵭膯挝磺蝮w（三維空間中到原點的距離不超過一個單位的點的全體）的概念在 n 維空間中的推廣。對于二維平面的情形，這個定理意味著如果你把單位圓盤上的每一個點光滑地移到另外某個點處，把非?？拷狞c移到同樣非?？拷狞c，那么總有一個點在移動前后的位置不變。

不動點定理及其直接推廣有很多推論。例如，你小心平穩(wěn)地攪拌杯子里的咖啡，那么某一滴咖啡，或者說某個分子，最終會停在它的起始位置上。（注意，從拓撲意義上說，杯中的咖啡是一個三維球體，通過攪拌，你就把咖啡中的每一個分子從這個三維球體的某個點 X移到了某個點Y，這就是我們所說的“把一個空間映射到自身”的意思。）還有一個不太明顯的例子：把一張紙放在桌子上，用記號筆在桌子上畫出它的輪廓?，F(xiàn)在把這張紙揉皺，但不要撕破它，然后把它放進畫出的輪廓里。這張變皺的紙上存在（至少）一個點，一定在畫出的這張紙的輪廓中這個點的正上方。

圖4 布勞威爾丨圖片來源：MacTutor

直覺主義

布勞威爾的拓撲學(xué)中潛在的自相矛盾，是他得到的結(jié)果與他的哲學(xué)思想格格不入。對于一名普通的數(shù)學(xué)家來說，這也許并不重要，但是布勞威爾是一位非常有哲學(xué)想法的數(shù)學(xué)家。他癡迷于形而上學(xué)思想（更確切地說是反形而上學(xué)的思想）以及為數(shù)學(xué)尋找一個可靠的哲學(xué)基礎(chǔ)。

為此，他創(chuàng)立了直覺主義學(xué)說，試圖將所有數(shù)學(xué)根植于人類進行連續(xù)思考的思維活動之中。布勞威爾說，一個數(shù)學(xué)命題不真，是因為它對應(yīng)于某種柏拉圖式的更高實體，這種更高實體超出了我們的物理感官，而我們的大腦卻能以某種方式理解它。它不真，還因為它遵循了一些語言形符的規(guī)則，就像布勞威爾時代的邏輯學(xué)家和形式主義者（如羅素和希爾伯特）所主張的那樣。它為真，是因為我們可以進行一些適當(dāng)?shù)男睦斫?gòu)，一步一步體驗它的正確性。按照布勞威爾的說法，構(gòu)成數(shù)學(xué)的材料（非常粗略地說）并不是從超出我們感知的世界里的某個倉庫里取出來的，也不僅僅是語言或者在紙上根據(jù)規(guī)則操作的符號。它是一種思想——一種人類活動，最終建立在我們對時間的直覺上，它是人類本能的一部分。

這僅僅是對直覺主義最簡單的概括，它催生了大量的文獻。了解這種哲學(xué)的讀者會察覺到康德和尼采對其產(chǎn)生的影響。

事實上，不管怎么說，布勞威爾絕不是這條思路僅有的開創(chuàng)者。類似的思想貫穿數(shù)學(xué)的現(xiàn)代歷史，可以追溯到康德之前，至少可以追溯到笛卡兒的時代。我認為，四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)者哈密頓可以被看作直覺主義者。1835 年，他在論文《作為純時間科學(xué)的代數(shù)》中試圖將康德的基于幾何學(xué)的數(shù)學(xué)思想建立在“直覺”和“構(gòu)造”之上，并引進到代數(shù)中。

19 世紀后期，利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）強烈反對格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845-1918）把“實無窮”引入集合論中，你可以稱克羅內(nèi)克為前直覺主義者?？肆_內(nèi)克認為，像這樣的不可數(shù)集合不屬于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)即使沒有它們也能發(fā)展，它們把無用且不必要的形而上學(xué)的包袱帶到了數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)該根植于計數(shù)、算法和計算。

正是這個思想學(xué)派被布勞威爾帶到20世紀，傳播給后來的數(shù)學(xué)家，例如美國數(shù)學(xué)家埃里特·畢曉普（Errett Bishop，1928-1983）。布勞威爾的學(xué)說被稱為“直覺主義”，畢曉普的學(xué)說被稱為“構(gòu)造主義”。這些思想現(xiàn)在都被稱為“構(gòu)造主義”，它們在美國的倡導(dǎo)者是美國柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的哈羅德·愛德華茲（Harold M. Edwards，1936-）教授。愛德華茲教授在其 2004 年的著作《構(gòu)造數(shù)學(xué)論著集》（Essays in Constructive Mathematics）中很好地說明了這種方法（事實上，他的其他著作也是如此）。

愛德華茲教授認為，隨著功能強大的計算機便捷化，構(gòu)造主義現(xiàn)已迎來了它的時代，而且一旦人們對思維方式做出了適當(dāng)調(diào)整，那么人們自1880年以來取得的很多數(shù)學(xué)成果看起來都會是誤解。我沒有資格評判這個預(yù)言，但就其特點而言，我個人覺得構(gòu)造主義的方法非常有吸引力。

總之，在布勞威爾 30 歲左右的那幾年里，他在代數(shù)拓撲方面的研究一定與他的哲學(xué)觀點有沖突。十年后，他的同胞范德瓦爾登來到荷蘭阿姆斯特丹跟隨他學(xué)習(xí)。范德瓦爾登在接受《美國數(shù)學(xué)學(xué)會通告》采訪時說：

盡管布勞威爾最重要的研究貢獻在拓撲學(xué)領(lǐng)域，但是他從來沒有開設(shè)過拓撲學(xué)課程，而且總是只開設(shè)直覺主義基礎(chǔ)課程。他似乎不再相信自己在拓撲學(xué)方面的成果，因為從直覺主義的觀點來看，它們是不正確的。根據(jù)他自己的哲學(xué)，他認為之前做過的每一件事情——甚至他最偉大的成果——都是錯誤的。他是一個非常奇怪的人，他瘋狂地?zé)釔圩约旱恼軐W(xué)。

作者簡介

約翰·德比希爾（John Derbyshire），出生于英國，是一位美國系統(tǒng)分析師、作家和評論家，曾學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)和語言學(xué)。他曾是美國《國家評論》的專欄作家，其寫作題材非常廣泛，著有《素數(shù)之戀》《夢見柯立芝》等多部作品。

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《代數(shù)的歷史：人類對未知量的不舍追蹤》（人民郵電出版社·圖靈新知，2021.4）第14章《代數(shù)無處不在》，小標題為編者所加。

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