隨著電視劇《三體》的熱播，關(guān)于這個(gè)科幻故事背后的科學(xué)原理的討論再次進(jìn)入人們的視野?！叭w問題不可求解”是對龐加萊的工作的通俗解釋，它是整個(gè)故事最基礎(chǔ)的設(shè)定。然而，縱觀動(dòng)力系統(tǒng)理論和天體力學(xué)的發(fā)展史，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，人們對于“可以求解”或者“不可求解”的認(rèn)識發(fā)生過好幾次劇烈的變化，今后當(dāng)然也有可能繼續(xù)變化。對于這些具體的問題作出論斷，現(xiàn)在還為時(shí)尚早?；煦缋碚撍A(yù)測的“不可求解”現(xiàn)象，大大拓展了人們的思維。盡管只有一字之差，但它遠(yuǎn)遠(yuǎn)不等同于“不可理解”，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不意味著探索多體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的努力走向終結(jié)。

撰文 | 邵城陽（芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系博士后）

從三體到《三體》

【資料圖】

星辰永不超越其界限（Nunquam praescriptos transibunt sidera fines）。

當(dāng)龐加萊（Henri Poincaré）在論文《三體問題與動(dòng)力學(xué)方程》的封面頁寫下這句格言時(shí)，他應(yīng)該相當(dāng)確定，自己“證明”了一個(gè)了不起的結(jié)論：

給定兩個(gè)大質(zhì)量天體和一個(gè)小質(zhì)量天體，假定三者之間的相互作用符合萬有引力定律，并且后者對前者的作用小到可以忽略不計(jì)。則這三個(gè)天體組成的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

這正是大名鼎鼎的限制性三體問題（restricted three-body problem）。1888年，龐加萊將這篇手稿交予奧斯卡二世數(shù)學(xué)獎(jiǎng)評選委員會(huì)，作為數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?wù)鹘獾谝活}的解答：

給定一質(zhì)點(diǎn)系，其中質(zhì)點(diǎn)的相互作用遵從牛頓（萬有引力）定律，并假定任意二質(zhì)點(diǎn)均不會(huì)相撞。將每一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)用時(shí)間的函數(shù)表示出來，要求表達(dá)式對任意時(shí)刻均收斂。

這正是有著悠久歷史、在天體力學(xué)中占有基本地位的多體問題。出題者是委員會(huì)成員、近代分析數(shù)學(xué)的奠基人魏爾斯特拉斯（Karl Weierstra?）。魏爾斯特拉斯相信，只要足夠精細(xì)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的明顯表達(dá)式是可以得到的。競賽要求參賽者匿名投稿，只在封面留下一句暗語以確認(rèn)身份。龐加萊選擇了“星辰永不超越其界限”這句野心勃勃的格言。他意圖找到星辰所不會(huì)超越的界限——萬有引力作用下天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。更確切地說，他意圖精確求解其中最為人熟知的限制性三體問題。

龐加萊論文手稿的封面，中間用鉛筆字寫下的就是格言“星辰永不超越其界限”。

天文學(xué)家早已知道了太陽系內(nèi)行星運(yùn)動(dòng)相當(dāng)精確地遵從開普勒定律。翻譯成數(shù)學(xué)語言，這表示：兩個(gè)遵從萬有引力定律的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在質(zhì)心系之下是非常規(guī)整的圓錐曲線（開普勒軌道）。但如果試圖求解某個(gè)行星的衛(wèi)星——例如月球——的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么問題就立刻變得復(fù)雜起來，因?yàn)橛绊懼虑蜻\(yùn)動(dòng)的有太陽和地球兩個(gè)大質(zhì)量天體，還不算其它離得很遠(yuǎn)的天體造成的攝動(dòng)。如果忽略月球自身的引力，而只把它當(dāng)作地-日引力場中的質(zhì)點(diǎn)，那么我們就得到了限制性三體問題的一個(gè)相當(dāng)日常生活化的例子。

日-地-月三體系統(tǒng)

這些問題從牛頓的時(shí)代開始就已經(jīng)在困擾天體物理學(xué)家了。而今，龐加萊似乎精確地解出了其中一個(gè)重要的例子，完成了幾代天體物理學(xué)家的夢想；更重要的是，他引入了一系列重要的解析方法以分析天體的運(yùn)動(dòng)。這樣看來，奧斯卡二世數(shù)學(xué)獎(jiǎng)授予龐加萊，可謂實(shí)至名歸；而這篇論文仿佛也將開啟完全定量描述天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論革命。

回顧科學(xué)史，我們知道，龐加萊的確開啟了一場理論革命，然而革命其實(shí)轉(zhuǎn)向了與最初的預(yù)期完全不同的方向。如果沒有龐加萊的工作開啟的理論革命，天體物理學(xué)家們可能要晚很久才會(huì)認(rèn)識到混沌特性——某種意義上，這表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難精確求解——才是內(nèi)稟于天體力學(xué)系統(tǒng)的，而這一支科學(xué)理論對大眾文化的影響也會(huì)截然不同。果真如此，劉慈欣的科幻小說《三體》恐怕就需要一個(gè)完全不同的理由，讓三體文明不得不拋棄母星、開始星際殖民?！叭w問題不可求解”是龐加萊成果的一種通俗說法。劉慈欣將它當(dāng)作一條科學(xué)規(guī)律。他筆下的三體文明科學(xué)史，正是龐加萊故事的放大版本：野心勃勃的科學(xué)家們想要求解行星在三個(gè)太陽作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然而經(jīng)過一次又一次沒能預(yù)測的亂紀(jì)元災(zāi)難，他們逐漸發(fā)展出相反的理論，最終證明了這個(gè)問題無法求解；生存得不到保障，于是走向星辰，走向與四光年外的太陽系勾心斗角的未來，走向母星毀滅的未來。

需要指出的是，按照物理學(xué)界通行的表述，劉慈欣小說中的問題其實(shí)不是“三體問題”，而是“限制性四體問題”，即研究小質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)大質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)作用下的運(yùn)動(dòng)，忽略小質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)自身的影響。顯然，這里有四個(gè)質(zhì)點(diǎn)。這問題當(dāng)然比限制性三體問題還要復(fù)雜、還要混亂。不過，說科幻作品的科學(xué)基礎(chǔ)“有硬傷”，并不能構(gòu)成一個(gè)合理的批評。誰也不該要求虛構(gòu)作品完全基于真實(shí)的設(shè)定。不論看沒看出術(shù)語問題，不論是否相信三體問題“不可求解”，都不影響欣賞作品，就好比信仰不影響欣賞其它民族的創(chuàng)世神話。但從科幻作品所基于的設(shè)定出發(fā)，重新審視我們所知的科學(xué)，卻仍有可能得到一些教益。就讓我們從龐加萊開啟的混沌革命開始，來看看古老又年輕的三體問題。最重要的一點(diǎn)，我們應(yīng)該把“三體/多體問題不可求解”——還需要明確什么叫“求解”——當(dāng)作一條科學(xué)的鐵律接受下來嗎？

混沌革命

轉(zhuǎn)折開始于委員會(huì)秘書弗拉格曼（Lars Phragmén，數(shù)學(xué)家，以復(fù)變函數(shù)論工作為人所知）對結(jié)果的疑問。弗拉格曼無法讀懂龐加萊的全部論證，最終寫信向龐加萊提出質(zhì)疑。龐加萊在重新檢查論文后發(fā)現(xiàn)了幾處嚴(yán)重的錯(cuò)誤。他重寫了論文中錯(cuò)誤的部分，重寫的論文刊登在米塔-列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）主編的雜志 Acta Mathematica 上。按照數(shù)學(xué)家伯克霍夫（George Birkhoff）的說法，這可能是 Acta 雜志發(fā)表的在科學(xué)史上最重要的論文。它開啟了現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論。

雖然龐加萊仍然保留了“星辰永不超越其界限”的格言，但這一次，他的論文卻給出了與預(yù)期完全相反的結(jié)論：一方面，解的滿足要求的形式級數(shù)表達(dá)式很可能不收斂；另一方面，實(shí)際上有如下的嚴(yán)格論斷：

限制性三體問題有很多相當(dāng)混亂的解。

龐加萊研究的是如今稱之為哈密頓系統(tǒng)（Hamiltonian system）的微分方程組。這種方程組開始于一個(gè)包含2n個(gè)自變量的函數(shù)H(q, p)，其中q, p都是有n個(gè)自由度的向量，分別稱為廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量。方程組的一般形式是

它所描繪的軌線定義在(q, p)所生活的2n維空間里。這個(gè)并不存在于現(xiàn)實(shí)中的空間叫做相空間（phase space），方程組的解則稱為相流。

我們熟悉的許多經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)都能夠化成這種形式，只需要取q為通常的空間坐標(biāo)，p為通常的動(dòng)量就可以了，而這時(shí)哈密頓函數(shù)H(q, p)正是系統(tǒng)的總能量。它是一個(gè)守恒量。對于多體系統(tǒng)，除了總機(jī)械能外，總動(dòng)量和總角動(dòng)量也是守恒量。如果只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這足以導(dǎo)出開普勒定律。要想求解多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，自然要先看看還有沒有別的守恒量。

龐加萊在論文中定義了他稱為積分不變量（integral invariant）的對象，守恒量是其中的一種。在注意到相空間體積是積分不變量之后，龐加萊證明了第一個(gè)重要結(jié)果，也就是著名的常返定理（recurrence theorem）：如果相空間中的等能量面都是有界閉曲面，那么對于相空間中每一個(gè)有界區(qū)域，不論多么小，都有軌線可與之相交無窮多次。對于多體系統(tǒng)來說，這表明相流不可能特別順滑：軌線在相空間中總要時(shí)?！肮諒澔貧w”。在末尾部分，龐加萊又證明了另一個(gè)重要結(jié)果：除了總機(jī)械能、動(dòng)量和角動(dòng)量這幾個(gè)守恒量以外，多體系統(tǒng)再?zèng)]有別的守恒量了！用今天的術(shù)語來說，多體系統(tǒng)是不可積（non-integrable）的。這粉碎了像二體問題那樣用守恒量求解的希望。

論文中段的內(nèi)容包含著龐加萊最重要的兩項(xiàng)成果。我們先來看看跟相流的混亂特性直接相關(guān)的一項(xiàng)。通過選取合適的非慣性坐標(biāo)系，龐加萊將限制性三體問題轉(zhuǎn)化成了自由度為2的哈密頓系統(tǒng)。他引入了后世稱為龐加萊截面（Poincaré section）的對象：在相空間中的等能量面上，這是一個(gè)所有軌線都與之橫截相交的二維曲面，截面上的每一個(gè)點(diǎn)在演化中都會(huì)離開截面，而后再次與之相交。這個(gè)將曲面上的一點(diǎn)變?yōu)橄乱淮蜗嘟稽c(diǎn)的映射，叫做龐加萊映射（Poincaré map，見下圖）。

(a) 龐加萊截面與穿過截面的軌線；(b) 截面上的龐加萊映射

由此，研究相空間中軌線可以歸結(jié)到研究龐加萊映射P。它的不動(dòng)點(diǎn)O對應(yīng)于力學(xué)問題的周期解。龐加萊引進(jìn)了現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)中稱為吸引集和排斥集的對象：前者包含在P的迭代之下趨向不動(dòng)點(diǎn)的那些點(diǎn)，后者包含在P的迭代之下遠(yuǎn)離不動(dòng)點(diǎn)的那些點(diǎn)。龐加萊發(fā)現(xiàn)，對于限制性三體問題來說，有相當(dāng)一部分能量的取值，會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)的龐加萊映射產(chǎn)生奇怪的行為：它的吸引集和排斥集竟然會(huì)相交無窮多次。用今日的術(shù)語，這種交點(diǎn)叫做橫截同宿點(diǎn)（homoclinic intersection，見下圖）。如果回歸軌線的性態(tài)，這種現(xiàn)象意味著：在周期解附近的軌線會(huì)無限多次地跑到離點(diǎn)O越來越近的地方，也會(huì)無限多次地遠(yuǎn)離它。

橫截同宿現(xiàn)象。圖中的藍(lán)色曲線表示吸引集，紅色曲線表示排斥集。因?yàn)槠鋵?shí)際性狀非常混亂，所以此圖僅僅是示意圖。

后世的動(dòng)力系統(tǒng)理論指出了這種情況下的龐加萊映射P有多么混亂。首先，在P的迭代之下，兩個(gè)離得很近的點(diǎn)也會(huì)彼此遠(yuǎn)離。從數(shù)值求解的角度，這意味著，在這些區(qū)域里，哈密頓微分方程的解對初值的微小變化極端敏感，任何微小的誤差都有可能被放大到難以接受的程度。第二，在P的迭代之下，任何兩個(gè)點(diǎn)都會(huì)無限多次地越來越接近，又會(huì)無限多次地相互遠(yuǎn)離。這意味著任意兩條解曲線都會(huì)無休止地相互糾纏、遠(yuǎn)離。第三，在P的迭代之下，周期點(diǎn)構(gòu)成截面上的稠密集合。這意味著微分方程又的的確確有非常多的周期解。一定程度上說，這足以粉碎“為限制性三體問題尋找好用的解析表達(dá)式”的天真愿望，畢竟沒有哪種解析表達(dá)式會(huì)這么混亂。

這些特性后來被斯梅爾（Stephen Smale）于1960年代在另一個(gè)完全不同的場景中重新發(fā)現(xiàn)。他的學(xué)生德瓦尼（Robert L. Devaney）將上述三條特性分別概括為初值敏感、拓?fù)鋫鬟f和周期點(diǎn)稠密，并將滿足這三條特性的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象命名為混沌（chaos）。李天巖和約克（Li and Yorke）的著名論文 Period Three Implies Chaos 則說明這種現(xiàn)象對于連續(xù)映射的迭代來說相當(dāng)常見。自此，動(dòng)力系統(tǒng)定性研究的時(shí)代開始了。在混沌的諸多奇異特性中，初值敏感的特性比較容易理解，它很快隨著洛倫茲（Edward Lorenz）早年發(fā)現(xiàn)的微分方程進(jìn)入了大眾文化，并獲得了“蝴蝶效應(yīng)”的雅號：“蝴蝶扇動(dòng)翅膀，可能引發(fā)一場龍卷風(fēng)”。然而，我們應(yīng)該記得，這種現(xiàn)象最早是龐加萊發(fā)現(xiàn)的?？梢哉f，龐加萊的工作開啟了混沌革命。

遍歷性疑難

龐加萊的工作迫使物理學(xué)家們大大修正自己的直覺。毫不夸張地說，從1920年代開始，在相當(dāng)長的一段時(shí)間里，這種直覺擺向了另一個(gè)極端：相信一般的力學(xué)系統(tǒng)都相當(dāng)?shù)亍盎靵y”。彼時(shí)還沒有“混沌”這個(gè)概念，那么“混亂”在這里是什么意思呢？

環(huán)面上的周期與擬周期軌線

如果ω是有理數(shù)，那么軌線會(huì)繞著環(huán)面轉(zhuǎn)幾圈之后回到起點(diǎn)，轉(zhuǎn)的圈數(shù)取決于ω的分母有多大。但如果ω是無理數(shù)，那么情況就要復(fù)雜得多了：軌線無論如何也不可能回歸起點(diǎn)，而且至少根據(jù)我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，它似乎要穿越環(huán)面上的每一個(gè)區(qū)域。實(shí)際上還會(huì)有更強(qiáng)的結(jié)論：給定環(huán)面上的區(qū)域Ω，則在Ω內(nèi)部的軌線之長度占軌線全長的比例，會(huì)漸漸接近Ω的面積占整個(gè)環(huán)面的比例。

學(xué)過微積分的讀者不妨試著將這個(gè)結(jié)論用極限的語言表達(dá)出來，并作出證明（提示：三角級數(shù)）。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語中，這種“均勻地游遍全世界”的現(xiàn)象叫做“時(shí)間平均等于空間平均”——遍歷性（ergodicity）。這個(gè)概念最早由物理學(xué)家玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）在1870年代研究統(tǒng)計(jì)力學(xué)時(shí)提出，而將其定義嚴(yán)格數(shù)學(xué)化的，正是前文提到的高度評價(jià)龐加萊工作的伯克霍夫。玻爾茲曼提出了遍歷性假設(shè)：一般的統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)都有這種“時(shí)間平均等于空間平均”的性質(zhì)。

的函數(shù)。后面會(huì)看到，擬周期函數(shù)將扮演非常重要的角色。

玻爾茲曼針對的是有著巨量粒子的系統(tǒng)，而龐加萊所證明的常返定理卻提示說，“簡單”如三體系統(tǒng)的哈密頓系統(tǒng)，也可能會(huì)“均勻地游遍全世界”。物理學(xué)家們由此開始相信，一般的哈密頓系統(tǒng)也會(huì)有這種混亂的遍歷性質(zhì)。費(fèi)米（Enrico Fermi）正是一個(gè)嚴(yán)肅對待這一假設(shè)的物理學(xué)家。在1923年，費(fèi)米發(fā)表了一篇文章，試圖證明如下結(jié)論：在龐加萊常返定理的假設(shè)之下，哈密頓系統(tǒng)在相空間中的等能量面上是遍歷的。盡管當(dāng)時(shí)這被物理學(xué)家廣泛地接受，而且還有不少數(shù)學(xué)上的證據(jù)側(cè)面支持這個(gè)猜測（例如伯克霍夫的個(gè)別遍歷定理），但他的“證明”其實(shí)是不對的——不是物理學(xué)家所熟悉的“數(shù)學(xué)上不嚴(yán)格”，而是我們后來知道這個(gè)結(jié)論本身是錯(cuò)的。

然而我們不該由此苛責(zé)古人。費(fèi)米不愧是偉大的物理學(xué)家，他雖然給出了“證明”，但仍然相信物理直覺需要經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。在1950年代，費(fèi)米小組開啟了一項(xiàng)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，用著名的MANIAC I計(jì)算機(jī)（它是第一臺在棋牌游戲中擊敗人類的計(jì)算機(jī)）演算了兩個(gè)包含64個(gè)粒子的力學(xué)模型。它們?nèi)缃癖唤凶鯢PUT模型（Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model）。費(fèi)米小組原本期望能夠通過數(shù)值演算觀測到很強(qiáng)遍歷特性，然而結(jié)果卻令他們感到驚訝：所有的解最終都變得非常“規(guī)律”——數(shù)值結(jié)果顯示，它們最終都越來越接近上文提到的那種擬周期函數(shù)。雖然也算得上有遍歷特性，但程度卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)稱不上混亂。研究小組在1955年的報(bào)告中失望地總結(jié)道：“計(jì)算結(jié)果幾乎沒有顯示出任何趨向能量等分（注：等能量面上遍歷性的推論）的可能性。”

這種境況完全可以叫做“遍歷性疑難”了：實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論直覺完全不符。從今人的視角來看，我們可以這樣解答疑難：在常返定理和遍歷性質(zhì)、乃至完全的混沌之間，還有著許許多多的可能性。龐加萊的工作，在一定程度上導(dǎo)致了矯枉過正，讓學(xué)者們在相當(dāng)一段時(shí)間里忽視了其它的可能性。

絕處逢生：KAM

其實(shí)，從最基本的常識出發(fā)，要找出能夠說明遍歷性疑難的例子再簡單不過了：為什么我們能夠看見太陽和月亮日復(fù)一日地、穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)貣|升西落，而不是像三體世界里那樣混亂到不可預(yù)測？按龐加萊的研究成果，“理論上”來講，三體系統(tǒng)的解“有可能”相當(dāng)不穩(wěn)定，那么為什么高懸的日月恰好就沒有處在這種可能之中呢？

一個(gè)直接的解釋是：我們所處的太陽系可能具有混沌特性，但是混沌特性卻也未必意味著星球會(huì)到處亂飛，而可能只是體現(xiàn)在公轉(zhuǎn)相位上的混亂；另外，以人類的觀察尺度，不穩(wěn)定性可能需要相當(dāng)長的時(shí)間才能夠體現(xiàn)出來，我們很難直接察覺到?？傊幕靵y不像《三體》小說中那樣，暴烈到能輕易毀滅上千輪的文明。

這種“混亂但溫柔”的解釋很好地平衡了理論與常識，而且也有越來越多的天文學(xué)證據(jù)支持這種解釋。然而，仔細(xì)想來，它其實(shí)巧妙地繞開了我們關(guān)心的核心問題：一般的哈密頓系統(tǒng)到底有沒有遍歷特性？

如果站在1954年就去世了的費(fèi)米的角度，問題的答案恐怕相當(dāng)出乎意料：有很多一般的哈密頓系統(tǒng)雖然不可積，但卻并沒有遍歷特性。這個(gè)回答主要?dú)w功于三位重要的數(shù)學(xué)家：柯爾莫戈洛夫（Andrey Kolmogorov）、阿諾德（Vladimir Arnold）和莫澤（Jürgen Moser），他們的系列成果因此簡稱為KAM理論。

那些夾在相空間中不變環(huán)面之間的軌線可能會(huì)有奇怪得多的表現(xiàn)：它們有可能落在維數(shù)更低的不變環(huán)面上，也有可能變成非常不規(guī)則的“混沌”的解。后一種情形最早是阿諾德發(fā)現(xiàn)的，后來被稱為阿諾德擴(kuò)散（Arnol"d diffusion）。但無論如何，這些不變環(huán)面的存在保證了軌線在等能量面上遠(yuǎn)遠(yuǎn)不可能是遍歷的，最多只能在某些低維的環(huán)面上有遍歷特性。見下圖。

不變環(huán)面與夾在環(huán)面之間的混亂軌線 | 圖源：Abraham, R., & Marsden, J. E. (2008). Foundations of mechanics (No. 364). American Mathematical Soc., p. 585.

科爾莫戈洛夫其實(shí)沒有完整地證明這個(gè)結(jié)論。第一個(gè)給出完整證明的人是他的學(xué)生阿諾德。莫澤從兩人的工作以及納什（John Nash）的工作里汲取靈感，將迭代方法抽象出來，成為了現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中一套強(qiáng)有力的方法，即所謂的 Nash-Moser 定理。KAM 理論極大地推動(dòng)了分析數(shù)學(xué)里許多分支的發(fā)展，可謂是分析數(shù)學(xué)輝煌的篇章。

總之，出乎費(fèi)米（以及同時(shí)代的許多物理學(xué)家）意料的是，一般的哈密頓系統(tǒng)其實(shí)并沒有那么“混亂”——被擾動(dòng)的可積系統(tǒng)不會(huì)滿足遍歷性假設(shè)。這種系統(tǒng)的軌線盡管復(fù)雜，卻有很可觀的部分被限制在相空間里的低維環(huán)面上，在很大程度上是可以預(yù)測的。這跟那種“混沌得出奇”的情景還是不一樣的。

星辰之限

那么，既然有KAM理論作保證（雖然這屬于后見之明），為什么龐加萊還是能夠發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象呢？這其實(shí)是因?yàn)檫@兩種理論的適用范圍完全沒有交集。KAM理論適用于相空間里這樣的一些區(qū)域：擾動(dòng)h的大小與h0相比很小。但在龐加萊所討論的限制性三體問題里，第三個(gè)天體被假定具有比較大的機(jī)械能，幾乎接近能逃逸大質(zhì)量天體引力的水平，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了KAM理論起作用的范圍。所以，KAM理論所保證的“小能量”下的穩(wěn)定性，與“較大能量”之下出現(xiàn)的混沌特性之間并不矛盾。

這樣一來，就出現(xiàn)了一個(gè)很有意思的問題：KAM理論能適用的范圍到底有多大？特別地，能大到覆蓋太陽系中的天體運(yùn)動(dòng)嗎？

阿諾德提出了這樣一個(gè)定理：對于有一個(gè)大質(zhì)量恒星和許多黃道面幾乎共面的行星的系統(tǒng)來說，KAM定理能夠保證它們的開普勒軌道在擾動(dòng)之后仍有一定概率是擬周期的。理論上，這似乎是太陽系穩(wěn)定性的有力保障?？上В谧钤绲陌姹局?，KAM型定理所要求的微擾的尺度都小得出奇，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于天體之間質(zhì)量的比例。另外，更本質(zhì)的問題在于，許多重要的天體運(yùn)動(dòng)問題的哈密頓函數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不滿足科爾莫戈洛夫要求的非退化條件。

不過這些“理論上的”成果卻足以提示我們：在許多可以視作微擾問題的情境里，KAM理論的機(jī)制盡管未必能夠保證擬周期解的穩(wěn)定性，卻暗示這種穩(wěn)定性是可以預(yù)期的。例如，在太陽-地球和月球組成的三體系統(tǒng)里，月球公轉(zhuǎn)軌道同地球黃道面的夾角僅有5°左右，非常接近于三星共面的三體系統(tǒng)。雖然沒有任何已知結(jié)果能夠保證這個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但KAM理論的存在卻暗示我們，有一定可能證明它的穩(wěn)定性。對于整個(gè)太陽系來說也是如此：這個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的斷言都各有證據(jù)支持，現(xiàn)在還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有到最終下決斷的時(shí)候。

另外，KAM理論的某些改進(jìn)版本也能夠給出一些天體力學(xué)上的推論。例如，在2003年，Celleti和Chierchia就證明了太陽-木星-凱神星的限制性三體系統(tǒng)適合KAM型的結(jié)論，從而擴(kuò)展了KAM理論的適用范圍。從實(shí)際的角度來說，這表明：作為小行星一員的凱神星的軌道是很穩(wěn)定的，盡管有木星巨大的引力所引起的攝動(dòng)，它也并不會(huì)突然偏離原有軌道橫沖直撞。他們的證明是由計(jì)算機(jī)輔助完成的，因?yàn)橛?jì)算微擾級數(shù)的工作決非人力可及。

實(shí)際上，人們也已經(jīng)開始借助計(jì)算機(jī)去尋找三體問題的特解了。例如，在2017年，上海交通大學(xué)廖世俊研究小組得到了等質(zhì)量三體問題的695族周期解（見下圖），此后更是將數(shù)量擴(kuò)展至1349族和135445族?！度w》小說中，地球三體組織中有一派將求解三體問題作為向“主”表達(dá)愛戴的儀式，在故事中，作為局外人的魏成“取得突破”，找到了上百族解，激起了地球三體組織的內(nèi)訌。看起來，作者為小說所虛構(gòu)的研究成果，在計(jì)算機(jī)技術(shù)的實(shí)際進(jìn)展面前已經(jīng)有些落后了。當(dāng)然，人們可能暫時(shí)還沒辦法更深入地研究這些周期解的穩(wěn)定性。不過，這些進(jìn)展都提示我們，三體問題本身是非常復(fù)雜的：這里的“復(fù)雜”不是指絕對不可近似求解、不可預(yù)測，而是指它的解可能有許多種截然不同的表現(xiàn)：其中有些“混沌”的解會(huì)導(dǎo)致不可近似計(jì)算、不可預(yù)測；有些盡管“混沌”，卻因?yàn)闀r(shí)間尺度太大的原因而仍然可以預(yù)測；而有些雖然復(fù)雜，卻并非不能精確地求解。龐加萊證明的是“三體系統(tǒng)不可積”和“三體問題在某些能量區(qū)域展現(xiàn)混沌特性”，由此就作出“三體問題不可求解”的結(jié)論，其實(shí)有些粗疏。

等質(zhì)量三體問題的周期解。（此六圖為動(dòng)圖，技術(shù)原因無法顯示，移步圖源可見） | 圖源：https://numericaltank.sjtu.edu.cn/three-body/three-body.htm

距離龐加萊寫下那句格言已經(jīng)過去了一百三十多年。在這些年間，人類對于天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)知經(jīng)歷了好幾次劇烈的變化。我們有充足的理由相信，我們對這些規(guī)律的認(rèn)識還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足，現(xiàn)有的認(rèn)識框架也很可能會(huì)再次被顛覆。二十世紀(jì)里計(jì)算機(jī)技術(shù)尚不發(fā)達(dá)的時(shí)候，數(shù)理科學(xué)家就已經(jīng)想到了別的辦法去描述限制性三體問題在混沌區(qū)域的表現(xiàn)。盡管這些描述只是進(jìn)一步揭示它在混沌區(qū)域的不可預(yù)測性，但誰知道人類將來能不能找到全新的認(rèn)識框架，從而重新定義“可以預(yù)測”這件事呢？

星辰的界限是無窮無盡的，它需要兩種非凡的勇氣才能探索。面對復(fù)雜的境況，要有勇氣直呼其名。為了直呼其名，則需要不斷使用新的技術(shù)、新的語言，發(fā)展新的思維方式，而這就需要另一種勇氣：準(zhǔn)備好與習(xí)以為常的直覺決裂。

尾注：《三體》小說中提到的三體問題本身未必處在混沌的區(qū)域里。也就是說，這三顆恒星本身的運(yùn)動(dòng)未必會(huì)復(fù)雜到完全不可預(yù)測。實(shí)際上，真正不可預(yù)測的乃是那顆行星的運(yùn)動(dòng)。人們尚不知道，對于三顆恒星來說，限制性四體問題的混沌區(qū)域究竟在哪里？它本身又是否有穩(wěn)定的區(qū)域，或者KAM理論能夠應(yīng)用的區(qū)域？這樣看來，有三個(gè)太陽的行星是否可能有宜人的環(huán)境——與人類熟悉的地球環(huán)境相接近——其實(shí)是一個(gè)非常開放的問題。對科幻小說的設(shè)定較真，未必是抬杠。

標(biāo)簽：